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PGCD spe maths



  1. #1
    bastien90210

    PGCD spe maths


    ------

    J'ai un petit problème avec un exo sur lequel je bloque, donc ben je vais commencer par metre l'énnoncé, puis exposer mes pistes.

    n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    1) Montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux.
    2) On pose T = n+3 et Q = 2n+1 et on note P le PGCD de T et Q.
    a) Calculer 2T - Q et en déduire les valeurs possibles de P.
    b) Démontrer que T et Q sont multiples de 5 si, et seulement si, (n-2) est multiple de 5.


    Donc je pense avoir réussi pour la question 1, mais je bloque sur la 2. Je vais déja mettre ma résolution de la question 1 :

    1) Il faut montrer que PGCD (n ; 2n+1) = 1

    soit d divise n et 2n+1
    donc d divise 2(n) -1(2n+1)
    d divise donc -1

    donc d peut - être uniquement égal à 1.

    Donc PGCD (n ; 2n+1) = 1 , donc n et 2n+1 sont premier entre eux

    Voila dites moi si cela est corect

    2) Et la je bloque, besoin de pistes et d'aide !

    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    Hamb

    Re : PGCD spe maths

    Pour la première c'est bon, pour la deuxième, tu remarques que 2T-Q est une combinaison linéaire de T et Q, qu'est-ce que tu sais du pgcd de T et Q ?

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : PGCD spe maths

    C'est en spé, ça ?
    Que trouves-tu pour 2 T - Q ?
    Si P est le PGCD, alors T = P T' et Q = P Q'
    Que vaut alors 2 T - Q ? Que conclus-tu ?

  5. #4
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    Je vous suis pas !

    2T - Q me donne 5

    donc les valeurs possible de P, c'est uniquement 5 ? non ?

    Mais après ?

  6. #5
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    Help !!!!!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Hamb

    Re : PGCD spe maths

    quelle propriété pourrait relier une combinaison linéaire de deux nombre et leur pgcd ?

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  10. #7
    danyvio

    Re : PGCD spe maths

    Citation Envoyé par bastien90210 Voir le message
    n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    1) Montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux.
    1) Il faut montrer que PGCD (n ; 2n+1) = 1

    soit d divise n et 2n+1
    donc d divise 2(n) -1(2n+1)
    d divise donc -1

    donc d peut - être uniquement égal à 1.

    Donc PGCD (n ; 2n+1) = 1 , donc n et 2n+1 sont premier entre eux

    Voila dites moi si cela est corect
    !
    Pourquoi compliquer ? Supposons que d > 1 divise n ; il divise donc 2n. Le reste de la division de 2n+1 = 1
    d ne divise donc pas 2n +1.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  11. #8
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    Pour la question 1, y a pas de soucis, mais pour la question 2, je vois vraiment pas comment procédé !

  12. #9
    MiMoiMolette

    Re : PGCD spe maths

    Pour la 2.a), fais comme ils te disent, calcule 2T-Q.
    Or, P étant le pgcd de T et Q, il divise T et Q. Donc il divise leur différence, de même qu'il divise 2T-Q.

    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  13. #10
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    2T - Q c'est 5 !

    donc P divise 5, c'est ça que vous dites ?

    donc P peut être égal à -1,1,-5 ou 5 ?

  14. #11
    MiMoiMolette

    Re : PGCD spe maths

    Citation Envoyé par bastien90210 Voir le message
    2T - Q c'est 5 !

    donc P divise 5, c'est ça que vous dites ?

    donc P peut être égal à -1,1,-5 ou 5 ?
    Exact

    Sauf que généralement, on se cantonne à pour les pgcd, mais c'est à toi de voir.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  15. #12
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    Pour la question b, je suis en trin de chercher d'ou ils trouvent le (n-2) . Forcement c'est une relation entre Q et T, donc entre n+3 et 2n + 1

  16. Publicité
  17. #13
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    Dire que Q et T sont multiple de 5, comment on peut l'écrire, sous qu'elle forme ??

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : PGCD spe maths

    Citation Envoyé par bastien90210 Voir le message
    Pour la question b, je suis en trin de chercher d'ou ils trouvent le (n-2) . Forcement c'est une relation entre Q et T, donc entre n+3 et 2n + 1
    2n+1 = n + n + 1.

    Si tu essaies de faire apparaître n+3, qu'obtiendras-tu ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #15
    bastien90210

    Re : PGCD spe maths

    2n + 1 = n + n + 1
    n + 3 = n + 3 (lol)
    donc 2n +1 -(n+3) = n + n + 1 -(n + 3) = n - 2

    donc dire que n+3 et 2n +1 sont multiple de 5, c'est dire que 2n+1 - (n+3) est multiple de 5, donc que n-2 doit etre multiple de 5, c'est ça ?

  20. #16
    azizamazigh

    Re : PGCD spe maths

    salam,
    pour montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux, il suffit d'appliquer le théorème de Bézout.
    a et b sont premiers entre eux, si il existe u et v dans Z tq au+bv=1. ( ie pgcd(a;b)=1).
    alors on applique ce théorème on a -2).n+(1).(2n+1)=-2n+2n+1=1. d'ou il existe (-2;1)£Z tq -2n+2n+1=1. ===> pgcd(n;2n+1)=1.

    tanmirt

  21. #17
    azizamazigh

    Re : PGCD spe maths

    salam:
    pour 2) a) on a d'après le théorème de Bézout.
    on a 2T-Q=5 et pgcd(T;Q)=p donc p/T il existe k£Z tq T=pk de meme P/Q il existe l£z tq Q=pl.
    donc 2T-Q=2pk-pl=5 ==>p(2k-l)=5 ==> pk'=5 ou k'=(2k-l)£Z. finalement pk'=5 ==> p/5 ( p divise 5 ).
    pour b):
    on 5/ Q ET 5/T COMME AVANT IL EXISTE k et l dans Z tel que Q=5k et T=5l;
    on a Q-T=n-2=5k-5l=5(k-l)=5m ou m=(k-l)£Z. finalement on a n-2=5m ==> 5/n-2 ( 5 divise n-2).

    désolé pour ce retard.
    tanmirt

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