Limites

[inviteeba0f6c8]

Bonjour est ce que : lim (quand x tend vers 0) (e^-x - 1)/x = -1 est vrai ?

Je sais que la limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h = 1 mais je vois pas comment transformer pour justifier que c'est vrai ou faux
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[pallas]

connais tu la définition de f'(a)= limite (f(x)-f(a))/(x-a) lorsque x tend vers a
alors appliques cette formule à f définie par f(x) = e^-x et a = 0 et tout ira pour le mieux !

[inviteeba0f6c8]

Je comprends pas ^^

[pallas]

voici un autre exemple
donner lim( lnx- 1)/(x-e) si x tend vers e
on consdere la fonction definie par f(x) = lnx et a= e
on saot que f'(e)=lim( lnx-lne)(x-e)=lim(lnx-1)/(x-e)
or f'(x) =1/x donc f'(e) =1/e
donc lim( lnx-1)/(x-e) lorsque x tend vers e est 1/e
tu appliques ce meme principe à la fonction que j"ai indiqué

[A voir en vidéo sur Futura]

[zyket]

Bonjour,

je proposerais un changement de variable : tu connais limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h = 1

en posant h=-x que devient : limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h ?

[invite18c42f07]

hello !

En cours tu as dû voir une façon de définir la dérivée d'une fonction en un point.

f est dite dérivable en a si la limite de (f(x)-f(a))/(x-a) quand x tend vers a existe, et dans ce cas on notera f'(a) cette limite. Tu as dû voir ça avec ton prof (ça me semblerait illogique d'étudier la fonction exponentielle avant même le concept de dérivée..)

intéresse toi à la fonction exp(-x) : est elle dérivable en 0 ? si oui qu'elle est sa dérivée en 0 ? ne peux tu pas en déduire la limite de ta fonction grâce à la formule qu'on vient de te donner ?

Quentin

[inviteeba0f6c8]

hello !

En cours tu as dû voir une façon de définir la dérivée d'une fonction en un point.

f est dite dérivable en a si la limite de (f(x)-f(a))/(x-a) quand x tend vers a existe, et dans ce cas on notera f'(a) cette limite. Tu as dû voir ça avec ton prof (ça me semblerait illogique d'étudier la fonction exponentielle avant même le concept de dérivée..)

intéresse toi à la fonction exp(-x) : est elle dérivable en 0 ? si oui qu'elle est sa dérivée en 0 ? ne peux tu pas en déduire la limite de ta fonction grâce à la formule qu'on vient de te donner ?

Quentin

Sa dérivée en 0 c'est 1 non ?

[inviteeba0f6c8]

Bonjour,

je proposerais un changement de variable : tu connais limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h = 1

en posant h=-x que devient : limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h ?

Sa fait 0 non ?

[zyket]

Ben non


en posant h=-x que devient : limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h = 1 ?

limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h = 1devient limite (quand -x tend vers 0) de (e^(-x)-1)/(-x) = 1 or quand -x tend vers 0 alors x tend vers 0, d'où 1= limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h=limite (quand x tend vers 0) de (e^(-x)-1)/(-x)

d'où 1= - limite (quand x tend vers 0) de (e^(-x)-1)/(x)


donc -1= limite (quand x tend vers 0) de (e^(-x)-1)/(x)

CQFD

[zyket]

Petit rappel de pourquoi : limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h = 1

car cette expression peut s'écrire : limite (quand h tend vers 0) de (e^(h+0)-e^0)/h qui correspond à la limite du taux d'accroissement en 0 dont on sait qu'il est égal au nombre dérivé en 0.

On sait que d'une façon générale : limite (quand h tend vers 0) de (f(a+h)-f(a))/h=f ' (a)

donc limite (quand h tend vers 0) de (e^h-1)/h=exp ' (0)=exp(0)=1