défi des limites ou limites des défis???
J'ai un petit défi à soumettre aux téméraires: est-ce que la suite (un) avec n appartenant à N* définie par un=1+1/(racine(2))+1/(racine(3))+...+1/(racine(n))
admet une limite réelle? si oui, laquelle?
Je suis désolée pour les notations mais je ne trouve pas les symboles mathématiques...
La réponse est immédiate, cette suite définit une série de la forme "somme des 1/na" avec a<=1, il y a donc divergence
Voilà un bel exemple de la puissance de la théorie des séries numériques.
On montre que ça diverge pour a=1 avec le critère de Cauchy ; du coup pour a<=1 ça diverge aussi et ton problème est reglé claraaah
merci beaucoup de vous être tous les deux penchés sur mon problème, mais je ne suis qu'en début de TS, je ne sais pas ce que c'est que le théorème de Cauchy, est-ce que vous pourriez me l'expliquer??? merci!
Aie si tu n'es qu'en TS ça ne va pas être facile de t'expliquer le critère de Cauchy!
Est-ce-que tu as quelques notions de convergence de suite? Avec des epsilons et tout le bazard?
Oui, j'ai appris quelques théorèmes de convergences de suites, et les epsilons ne me font pas peurEnvoyé par GuYem
Il me semble que j'avais fait un exo avec Cauchy il y a 2 semaines... en TS aussi
Mais ce n'était pas expliqué explicitement.
Ici essaye de faire la différence entre u(n²)-u(n), normalement ça doit être supérieur ou égal à 1 si je me suis pas trompé (j'avais fait ça avec els inverses, là c'est la racine inverse lol).
Puis tu conclus.
+
Ah bon on peut essayer alors!
Voilà le critère de Cauchy pour les suites numériques x_n
Intuitivement ça veut dire que les termes de la suite se rapprochent les un des autres au fur et à mesure qu'on avance vers l'infini pour l'indice.
Il est facile de montrer qu'une suite convergente vérifie le critère de Cauchy (essaye!)
Du coup si une suite ne vérifie pas le critère de Cauchy, elle ne convergera pas (si il pleut alors il y a des nuages, du coup si il n'y a pas de nuages, tu peux être sure qu'il ne pleut pas!)
On va pas répondre de suite à ta question mais on va plutôt regarder la suite
Pour montrer qu'elle ne vérifie pas le critère de Cauchy, on regarde:
Puisque n+1, n+2, n+3 ... 2n sont tous plus petits que 2n on obtient l'inégalité suivante : (attention au changement de l'inégalité du à l'inversion)
Si tu regardes bien cette dernière expression :
Du coup cette suite ne converge pas.
De cette suite à celle que tu as donnée il n'y a qu'un pas.
J'espère avoir été assez clair!
Ah, c'est donc comme ça que s'appelle cette démonstration, le critère de Cauchy! Notre prof nous avait fait faire quelque chose de similaire dans le cours, mais sans nous spécifier que derrière tout ça se cachait une propriété à part entière... Cette manie qu'ont les profs de ne pas appeler les choses par leur nom (ils ont quand même mis 4 ans à prononcer le mot "contraposée"!)
Je m'accroche, j'essaye d'appliquer le critère à mon problème...Avec de la persévérance, je pense que ça ira!
Bah il faut les comprendre. Les programmes sont plus ou moins bien faits et on doit faire des choses sans parler d'aute chose ;par exemple : faire des suites sans parler de critère de Cauchy, faire de l'artihmétique sans parler d'anneau etc...
Ils font ce qu'ils peuvent
En fait tu n'as pas besoin d'appliquer le critère à ton probléme. D'ailleurs je ne sais pas comment on ferait, la racine pose problème ^^.Ah, c'est donc comme ça que s'appelle cette démonstration, le critère de Cauchy! Notre prof nous avait fait faire quelque chose de similaire dans le cours, mais sans nous spécifier que derrière tout ça se cachait une propriété à part entière... Cette manie qu'ont les profs de ne pas appeler les choses par leur nom (ils ont quand même mis 4 ans à prononcer le mot "contraposée"!)
Je m'accroche, j'essaye d'appliquer le critère à mon problème...Avec de la persévérance, je pense que ça ira!
Il te suffit de remarquer la chose suivante :
Du coup en appelant u_n ta suite et x_n la mienne tu obtiens
:d
Mais il y a un petit quelque chose qui m'ennuie dans tout ça: est-ce qu'après avoir prouvé que u(n2)-u(n)>=1, je peux directement affirmer que la suite diverge en invoquant ce cher vieux Cauchy, ou alors me faut-il encore passer par une démonstration qui me fera conclure que la suite, croissante, n'est pas majorée?
Une autre manière de voir les choses :
si on prend les n premiers termes de la série ils sont tous supérieurs à 1/rac(n). Donc la somme est supérieur à n/rac(n) = rac(n) qui tend vers l'infini.
Merciii, du coup je comprends mieux! ahhh je suis soulagée, et en plus je comprends pourquoi la prof nous a donné cet exercice, non pas pour nous faire prendre conscience de notre nullité devant l'étendue complexe et subtile des mathématiques, mais pour que nous nous resservions d'une démonstration qu'elle-même avait faite dans le cours! ouf ouf ouf merci beaucoup GuYem!En fait tu n'as pas besoin d'appliquer le critère à ton probléme. D'ailleurs je ne sais pas comment on ferait, la racine pose problème ^^.
Il te suffit de remarquer la chose suivante :
Du coup en appelant u_n ta suite et x_n la mienne tu obtiens
Ah oui, c'est vrai que vu comme ça, ça simplifie aussi les choses. Merci ericcc, j'espère simplement qu'un jour j'arriverai à avoir une vision des problèmes aussi limpide que la tienne plutôt que de me prendre la tête à chercher des solutions compliquées! ^^ Tu as fait prépa?
Ah bin ça!
En voilà une démonstration qu'elle est beaucoup plus courte, beaucoup plus belle et requiert beaucoup moins de choses. Bravo nericcc
Oui j'ai fait des maths, mais il y a très longtemps...
Comme quoi, c'est comme le vélo : ça s'oublie pas. (ou alors ça revient assez vite)
Disons qu'on garde le niveau de Terminale, et qu'on oublie le reste.
J'ajoute que ma démonstration permet de généraliser le résultat à 1/n^a où a est positif et inférieur ou égal à 1.
