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défi des limites ou limites des défis???



  1. #1
    claraaah

    Red face défi des limites ou limites des défis???


    ------

    J'ai un petit défi à soumettre aux téméraires: est-ce que la suite (un) avec n appartenant à N* définie par un=1+1/(racine(2))+1/(racine(3))+...+1/(racine(n))
    admet une limite réelle? si oui, laquelle?
    Je suis désolée pour les notations mais je ne trouve pas les symboles mathématiques...

    -----

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  3. #2
    Odie

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    La réponse est immédiate, cette suite définit une série de la forme "somme des 1/na" avec a<=1, il y a donc divergence
    Dernière modification par Odie ; 21/09/2005 à 12h54.

  4. #3
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Voilà un bel exemple de la puissance de la théorie des séries numériques.

    On montre que ça diverge pour a=1 avec le critère de Cauchy ; du coup pour a<=1 ça diverge aussi et ton problème est reglé claraaah
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    claraaah

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    merci beaucoup de vous être tous les deux penchés sur mon problème, mais je ne suis qu'en début de TS, je ne sais pas ce que c'est que le théorème de Cauchy, est-ce que vous pourriez me l'expliquer??? merci!

  6. #5
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Aie si tu n'es qu'en TS ça ne va pas être facile de t'expliquer le critère de Cauchy!

    Est-ce-que tu as quelques notions de convergence de suite? Avec des epsilons et tout le bazard?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    claraaah

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Citation Envoyé par GuYem
    Aie si tu n'es qu'en TS ça ne va pas être facile de t'expliquer le critère de Cauchy!

    Est-ce-que tu as quelques notions de convergence de suite? Avec des epsilons et tout le bazard?
    Oui, j'ai appris quelques théorèmes de convergences de suites, et les epsilons ne me font pas peur

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  10. #7
    easythomas

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Il me semble que j'avais fait un exo avec Cauchy il y a 2 semaines... en TS aussi
    Mais ce n'était pas expliqué explicitement.
    Ici essaye de faire la différence entre u(n²)-u(n), normalement ça doit être supérieur ou égal à 1 si je me suis pas trompé (j'avais fait ça avec els inverses, là c'est la racine inverse lol).
    Puis tu conclus.
    +

  11. #8
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Ah bon on peut essayer alors!

    Voilà le critère de Cauchy pour les suites numériques x_n



    Intuitivement ça veut dire que les termes de la suite se rapprochent les un des autres au fur et à mesure qu'on avance vers l'infini pour l'indice.

    Il est facile de montrer qu'une suite convergente vérifie le critère de Cauchy (essaye!)
    Du coup si une suite ne vérifie pas le critère de Cauchy, elle ne convergera pas (si il pleut alors il y a des nuages, du coup si il n'y a pas de nuages, tu peux être sure qu'il ne pleut pas!)

    On va pas répondre de suite à ta question mais on va plutôt regarder la suite


    Pour montrer qu'elle ne vérifie pas le critère de Cauchy, on regarde :


    Puisque n+1, n+2, n+3 ... 2n sont tous plus petits que 2n on obtient l'inégalité suivante : (attention au changement de l'inégalité du à l'inversion)



    Si tu regardes bien cette dernière expression : tu pourras voir qu'elle contredit le critère de Cauchy : les termes d'indices n et 2n sont toujours disatnts d'au moins 1/2 et donc ils ne se rapprochent pas l'un de l'autre quand n va vers l'infini comme le demande Cauchy.

    Du coup cette suite ne converge pas.

    De cette suite à celle que tu as donnée il n'y a qu'un pas.

    J'espère avoir été assez clair!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    claraaah

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Ah, c'est donc comme ça que s'appelle cette démonstration, le critère de Cauchy! Notre prof nous avait fait faire quelque chose de similaire dans le cours, mais sans nous spécifier que derrière tout ça se cachait une propriété à part entière... Cette manie qu'ont les profs de ne pas appeler les choses par leur nom (ils ont quand même mis 4 ans à prononcer le mot "contraposée"!)
    Je m'accroche, j'essaye d'appliquer le critère à mon problème...Avec de la persévérance, je pense que ça ira! Merci beaucoup

  13. #10
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Bah il faut les comprendre. Les programmes sont plus ou moins bien faits et on doit faire des choses sans parler d'aute chose ;par exemple : faire des suites sans parler de critère de Cauchy, faire de l'artihmétique sans parler d'anneau etc...

    Ils font ce qu'ils peuvent
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Citation Envoyé par claraaah
    Ah, c'est donc comme ça que s'appelle cette démonstration, le critère de Cauchy! Notre prof nous avait fait faire quelque chose de similaire dans le cours, mais sans nous spécifier que derrière tout ça se cachait une propriété à part entière... Cette manie qu'ont les profs de ne pas appeler les choses par leur nom (ils ont quand même mis 4 ans à prononcer le mot "contraposée"!)
    Je m'accroche, j'essaye d'appliquer le critère à mon problème...Avec de la persévérance, je pense que ça ira! Merci beaucoup
    En fait tu n'as pas besoin d'appliquer le critère à ton probléme. D'ailleurs je ne sais pas comment on ferait, la racine pose problème ^^.

    Il te suffit de remarquer la chose suivante :


    Du coup en appelant u_n ta suite et x_n la mienne tu obtiens Ma suite diverge donc la tienne aussi. (elles sont positives)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #12
    claraaah

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    :d
    Mais il y a un petit quelque chose qui m'ennuie dans tout ça: est-ce qu'après avoir prouvé que u(n2)-u(n)>=1, je peux directement affirmer que la suite diverge en invoquant ce cher vieux Cauchy, ou alors me faut-il encore passer par une démonstration qui me fera conclure que la suite, croissante, n'est pas majorée?

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  17. #13
    ericcc

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Une autre manière de voir les choses :
    si on prend les n premiers termes de la série ils sont tous supérieurs à 1/rac(n). Donc la somme est supérieur à n/rac(n) = rac(n) qui tend vers l'infini.

  18. #14
    claraaah

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Citation Envoyé par GuYem
    En fait tu n'as pas besoin d'appliquer le critère à ton probléme. D'ailleurs je ne sais pas comment on ferait, la racine pose problème ^^.

    Il te suffit de remarquer la chose suivante :


    Du coup en appelant u_n ta suite et x_n la mienne tu obtiens Ma suite diverge donc la tienne aussi. (elles sont positives)
    Merciii, du coup je comprends mieux! ahhh je suis soulagée, et en plus je comprends pourquoi la prof nous a donné cet exercice, non pas pour nous faire prendre conscience de notre nullité devant l'étendue complexe et subtile des mathématiques, mais pour que nous nous resservions d'une démonstration qu'elle-même avait faite dans le cours! ouf ouf ouf merci beaucoup GuYem!

  19. #15
    claraaah

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Citation Envoyé par ericcc
    Une autre manière de voir les choses :
    si on prend les n premiers termes de la série ils sont tous supérieurs à 1/rac(n). Donc la somme est supérieur à n/rac(n) = rac(n) qui tend vers l'infini.
    Ah oui, c'est vrai que vu comme ça, ça simplifie aussi les choses. Merci ericcc, j'espère simplement qu'un jour j'arriverai à avoir une vision des problèmes aussi limpide que la tienne plutôt que de me prendre la tête à chercher des solutions compliquées! ^^ Tu as fait prépa?

  20. #16
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Citation Envoyé par ericcc
    Une autre manière de voir les choses :
    si on prend les n premiers termes de la série ils sont tous supérieurs à 1/rac(n). Donc la somme est supérieur à n/rac(n) = rac(n) qui tend vers l'infini.

    Ah bin ça!

    En voilà une démonstration qu'elle est beaucoup plus courte, beaucoup plus belle et requiert beaucoup moins de choses. Bravo nericcc
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  21. #17
    ericcc

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Oui j'ai fait des maths, mais il y a très longtemps...

  22. #18
    GuYem

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Citation Envoyé par ericcc
    Oui j'ai fait des maths, mais il y a très longtemps...
    Comme quoi, c'est comme le vélo : ça s'oublie pas. (ou alors ça revient assez vite)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  24. #19
    ericcc

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    Disons qu'on garde le niveau de Terminale, et qu'on oublie le reste.

  25. #20
    ericcc

    Re : défi des limites ou limites des défis???

    J'ajoute que ma démonstration permet de généraliser le résultat à 1/n^a où a est positif et inférieur ou égal à 1.

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