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a^{x} > 1 + x



  1. #1
    Bleyblue

    a^{x} > 1 + x


    ------

    Bonjour,

    Je dois trouver tous les nombres a strictement positifs tels que :



    Alors si je trace quelques courbe du type ax je vois bien qu'il faut prendre a > 1.

    On aura de toute façon a0 = 1 et donc la fonction y = ax touchera la fontion y = 1 + x en x = 0.
    Elle ne doit faire que toucher la fonction, tout en restant au dessus. Avec un dessin j'en ai déduit que ax doit être tangeante en x = 0 à y = 1 + x.

    Il existe donc une seule valeur correspondant de a, e
    Pensez-vous que ce soit juste ?
    Pour a = e ça me semble bien juste mais je me demande si je n'ai pas oublier des solutions ...

    merci

    -----

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Avec un dessin j'en ai déduit que ax doit être tangente en x = 0 à y = 1 + x.
    Bonsoir,

    Je suggère de réfléchir un peu sur cette partie de la démonstration...

    Cordialement,

  4. #3
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par mmy
    Bonsoir,

    Je suggère de réfléchir un peu sur cette partie de la démonstration...

    Cordialement,
    Il est vrai que le dessin peut-être trompeur.
    Aprés calcul on se rend compte que la tangente de x->a^x en 0 c'est y =ln(a).x + 1
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    Evil.Saien

    Re : a^{x} > 1 + x

    Hum... il me semble qu'on a vu plusieurs fois ce type d'exercice, et que c'est tres difficile (en tout cas non trivial) de trouver une solution analytique...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Hum... il me semble qu'on a vu plusieurs fois ce type d'exercice, et que c'est tres difficile (en tout cas non trivial) de trouver une solution analytique...
    Ben il se fait que cet énoncé vient de mon livre d'analyse donc ça doit être faisable sans trop de difficulté

    Citation Envoyé par GuYem
    Il est vrai que le dessin peut-être trompeur.
    Aprés calcul on se rend compte que la tangente de x->a^x en 0 c'est y =ln(a).x + 1
    Eh bien il me semble que ça confirme ma réponse. Non ?

    merci

  8. #6
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Je ne vois pas trop comment ça confirme ta réponse... Par contre ça infirme ta phrase qui dit que la tangente doit être 1+x...

    En fait je ne peux pas trop t'aider car je n'ai pas d'idée encore de la réponse
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Ah, mais si a = e on a bien y = ln(e)x + 1 = x + 1
    On a avec x = 0 et donc a = e.

    non ?

    merci

  11. #8
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Pardon petite faute dans mon message du dessus.

    axlna = 1 et donc a = e

    EDIT : Il est bien clair que la tangeante en x = 0 à la coubre ex est y = x + 1 non ?
    Dernière modification par Bleyblue ; 20/09/2005 à 19h07.

  12. #9
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah, mais si a = e on a bien y = ln(e)x + 1 = x + 1
    On a avec x = 0 et donc a = e.

    non ?

    merci
    Tu te mords la queue jeune homme.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #10
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Bon, je ne comprend plus la, je vais tout reprendre deuis le début ça vaut mieux

    La tangeante à la courbe y = ax doit être y = x + 1 en x = 0.

    La tangeante en zéro a donc pour équation
    yt = ln(a).x + p par (0, 1)

    yt = ln(a)x + 1 et donc ln(a) = 1 et a = e

    ça va mieux la ?

    merci

  14. #11
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bon, je ne comprend plus la, je vais tout reprendre deuis le début ça vaut mieux

    La tangeante à la courbe y = ax doit être y = x + 1 en x = 0.

    La tangeante en zéro a donc pour équation
    yt = ln(a).x + p par (0, 1)

    yt = ln(a)x + 1 et donc ln(a) = 1 et a = e

    ça va mieux la ?

    merci
    Ton raisonnement est correcte, mais la phrase soulignée est fausse ^^

    je suis d'accord que si tu IMPOSES à la tangente d'être x+1 alors tu obtiens a=e avec ce que tu as fait.
    Mais qui te dit qu'il n'y a pas d'autres a qui vérifie a^x>=x+1 ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #12
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par GuYem
    Mais qui te dit qu'il n'y a pas d'autres a qui vérifie a^x>=x+1 ?
    Ah oui, c'est bien ce que je craignais, je n'ai pas toutes les solutions.

    merci

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    J'ai essayé avec plusieurs valeurs de a (1,5; 2; e; 3; 4; 7) et je suis quasiment sûr que le a correspondant est bien e, mais je n'arrive pas à justifier ça de manière convenable ...

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par Bleyblue
    J'ai essayé avec plusieurs valeurs de a (1,5; 2; e; 3; 4; 7) et je suis quasiment sûr que le a correspondant est bien e, mais je n'arrive pas à justifier ça de manière convenable ...
    Bonsoir,

    Si tu as essayé, tu dois pouvoir donner un contre-exemple, pour a=4 par exemple, une valeur de x ne respectant pas l'inégalité.

    Cordialement,

  19. #15
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Bien sûr, x = 0,1 :

    41/10 =

    or

    4 + 0,1 = 4,1

    et donc (x + 1) > ax

    Par contre pour a = e, on peut toujours chercher une valeur x tels que 1 + x soit plus grande que ex

    Mais ça ne démontre rien ça ...

    merci

  20. #16
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Bon en fait ça ne doit pas être trop compliqué de montrer qu'il n'y a que e qui marche. Tu as déjà vu que a doit être strictement plus grand que 1.

    Prend un 1<a<e par exemple.

    regarde la fonction

    Aprés dérivation ca donne

    Donc ses (son) points critiques sont (est) (>0 car 1<a<e)
    De plus la dérivée change de signe à cet endroit là, donc on a bien à faire à un max ou un min.

    Mais la fonction en ce point critique vaut


    On a le <0 car a est différent de e, la fonction ln(x) est toujours plus petite que x-1 sauf pour x=1.


    Du coup en récapitulant on a gagné :
    La fonction a un min ou max en un certain point et ce min ou max est négatif.
    Si c'est un max on est bien content car alors la fonction est toujours négative et a^x est toujours plus petite que x+1.
    Mais en fait il se trouve que c'est un min mais ça marche quand même car alors au moins autour du point critique la fonction est négative et a^x ets plus petit que x+1.


    Pour a>e, c'est kifkif bourriquet sauf que le point critique est négatif et patati et patata
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  21. #17
    Duke Alchemist

    Re : a^{x} > 1 + x

    Bonsoir.

    ax=1+x pour a>0, n'est-il pas équivalent à a=(1+x)1/x pour x non-nul ??

    Serait-ce trop facile ??...
    Il suffirait alors d'étudier y=(1+x)1/x et de déduire les intersections avec y=a

    Remarquez que a=e est une valeur limite et interdite dans ce cas puisque x doit être non-nul (=lim en 0 de (1+x)1/x) et que la limite en +infini c'est 1.

    Toute valeur de a>1 serait alors solution de l'égalité...
    Maintenant pour l'inégalité, il faut faire attention à la valeur de x !!

    Bon, si j'ai dit une GROSSE bêtise, j'aimerais bien qu'on m'explique.
    Merci.

    Bonne soirée !
    Duke.

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bien sûr, x = 0,1 :

    41/10 =

    or

    4 + 0,1 = 4,1

    et donc (x + 1) > ax

    Aïe!! Vérifies un peu ce que tu écris, il y a une grosse erreur!

    Cordialement,

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  24. #19
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Oui une petite confusion entre x et a
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par GuYem
    Oui une petite confusion entre x et a
    Il pouvait peut-être trouver tout seul, non?

  26. #21
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    oops. Entendu je me tais.

    J'en ai déjà trop dit :-#
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  27. #22
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    J'ai trouvé tout seul mmy, je me suis levé exprès du lit pour essayer de réparer ce que j'ai dis mais évidemment c'est trop tard

    Le reste de vos réponses je lirai ça demain parce que la ...
    Et je pense que je ferai mieux de me reconvertir en philosophe parce que comme mathématicien fanchement, je ne vaux pas cher ...

    merci à tous

  28. #23
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Bah dis pas ça, ça vient avec l'habitude et la pratique, et ça doit aussi rester un loisir.
    Et bonne nuit aussi
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  29. #24
    Bleyblue

    Re : a^{x} > 1 + x

    Citation Envoyé par GuYem
    Bah dis pas ça, ça vient avec l'habitude et la pratique,
    Je le sais bien, mais l'ennui c'est que je commence à l'avoir cette habitude, et que ça ne vient tjrs pas ...

    Je lis vos réponse maintenant, merci !

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  31. #25
    ericcc

    Re : a^{x} > 1 + x

    Une petite suggestion : prendre le log des deux membres de l'égalité, et étudier les variations de la fonction [log(1+x)]/x

    Il me semble que cela résoud le problème, sans calculs extravagants.

  32. #26
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Oui ericcc tu as raison ça marche aussi.
    Enfin j'aurais plutôt pris le log et étudié ln(1+x) - x.ln(a). Il faut bien faire gaffe à prendre x>-1 et a différent de 1.
    Le résultat tombe alors un peu plus facilement qu'avec mes "calculs extravagants" Il y a cependant encore du ln(ln(a)) qui traine
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  33. #27
    invité576543
    Invité

    Re : a^{x} > 1 + x

    Bonjour,

    Bien compliquées vos approches. Est-ce qu'on est toujours en mode "exo", ou on peut passer en mode "discussion"?

    Cordialement,

  34. #28
    GuYem

    Re : a^{x} > 1 + x

    Je pense qu'on peut passer en mode discussion. Un forum c'est fait pour ça non?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  35. #29
    ericcc

    Re : a^{x} > 1 + x

    En fait j'avais compris qu'on imposait x positif ou nul. Dans ce cas c'est plutot simple : comme la fonction [log(1+x)]/x est strictement décroissante, et que sa limite vaut 1 en 0 (on la prolonge par continuité), elle est inférieure ou égale à 1.
    Donc tout nombre a tel que log(a) supérieur ou égal à 1 remplit la condition; donc a est supérieur ou égal à e.

    QED

  36. #30
    invité576543
    Invité

    Re : a^{x} > 1 + x

    En qq lignes, avec outils un peu plus puissants:

    - ex=1 + x + x^2/2 + ... > 1 + x pour x>0
    - a -> ax croissante pour a>e et x>0, donc ax>ex>1+x
    - si a<e ax = 1 + ln(a)x +o(x), (dérivée en 0) donc il existe un x petit tel que <1+x

    Doù

    Cordialement,

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