a^{x} > 1 + x

**Bleyblue** · 20/09/2005, 18h09

Bonjour,

Je dois trouver tous les nombres a strictement positifs tels que :

$\text{[math]}$

Alors si je trace quelques courbe du type a^x je vois bien qu'il faut prendre a > 1.

On aura de toute façon a⁰ = 1 et donc la fonction y = a^x touchera la fontion y = 1 + x en x = 0.
Elle ne doit faire que toucher la fonction, tout en restant au dessus. Avec un dessin j'en ai déduit que a^x doit être tangeante en x = 0 à y = 1 + x.

Il existe donc une seule valeur correspondant de a, e
Pensez-vous que ce soit juste ?
Pour a = e ça me semble bien juste mais je me demande si je n'ai pas oublier des solutions ...

merci

invité576543 · 20/09/2005, 18h21

Envoyé par Bleyblue

Avec un dessin j'en ai déduit que a^x doit être tangente en x = 0 à y = 1 + x.

Bonsoir,

Je suggère de réfléchir un peu sur cette partie de la démonstration...

Cordialement,

**GuYem** · 20/09/2005, 18h28

Envoyé par mmy

Bonsoir,

Je suggère de réfléchir un peu sur cette partie de la démonstration...

Cordialement,

Il est vrai que le dessin peut-être trompeur.
Aprés calcul on se rend compte que la tangente de x->a^x en 0 c'est y =ln(a).x + 1

**Evil.Saien** · 20/09/2005, 18h29

Hum... il me semble qu'on a vu plusieurs fois ce type d'exercice, et que c'est tres difficile (en tout cas non trivial) de trouver une solution analytique...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Bleyblue** · 20/09/2005, 18h41

Envoyé par Evil.Saien

Hum... il me semble qu'on a vu plusieurs fois ce type d'exercice, et que c'est tres difficile (en tout cas non trivial) de trouver une solution analytique...

Ben il se fait que cet énoncé vient de mon livre d'analyse donc ça doit être faisable sans trop de difficulté

Envoyé par GuYem

Il est vrai que le dessin peut-être trompeur.
Aprés calcul on se rend compte que la tangente de x->a^x en 0 c'est y =ln(a).x + 1

Eh bien il me semble que ça confirme ma réponse. Non ?

merci

**GuYem** · 20/09/2005, 18h45

Je ne vois pas trop comment ça confirme ta réponse... Par contre ça infirme ta phrase qui dit que la tangente doit être 1+x...

En fait je ne peux pas trop t'aider car je n'ai pas d'idée encore de la réponse

**Bleyblue** · 20/09/2005, 18h51

Ah, mais si a = e on a bien y = ln(e)x + 1 = x + 1
On a $\text{[math]}$ avec x = 0 et donc a = e.

non ?

merci

**Bleyblue** · 20/09/2005, 19h03

Pardon petite faute dans mon message du dessus.

a^xlna = 1 et donc a = e

EDIT : Il est bien clair que la tangeante en x = 0 à la coubre e^x est y = x + 1 non ?

**GuYem** · 20/09/2005, 19h07

Envoyé par Bleyblue

Ah, mais si a = e on a bien y = ln(e)x + 1 = x + 1
On a $\text{[math]}$ avec x = 0 et donc a = e.

non ?

merci

Tu te mords la queue jeune homme.

**Bleyblue** · 20/09/2005, 19h11

Bon, je ne comprend plus la, je vais tout reprendre deuis le début ça vaut mieux

La tangeante à la courbe y = a^x doit être y = x + 1 en x = 0.

La tangeante en zéro a donc pour équation
y_t = ln(a).x + p par (0, 1)

y_t = ln(a)x + 1 et donc ln(a) = 1 et a = e

ça va mieux la

?

merci

**GuYem** · 20/09/2005, 19h13

Envoyé par Bleyblue

Bon, je ne comprend plus la, je vais tout reprendre deuis le début ça vaut mieux

La tangeante à la courbe y = a^x doit être y = x + 1 en x = 0.

La tangeante en zéro a donc pour équation
y_t = ln(a).x + p par (0, 1)

y_t = ln(a)x + 1 et donc ln(a) = 1 et a = e

ça va mieux la

?

merci

Ton raisonnement est correcte, mais la phrase soulignée est fausse ^^

je suis d'accord que si tu IMPOSES à la tangente d'être x+1 alors tu obtiens a=e avec ce que tu as fait.
Mais qui te dit qu'il n'y a pas d'autres a qui vérifie a^x>=x+1 ?

**Bleyblue** · 20/09/2005, 19h20

Envoyé par GuYem

Mais qui te dit qu'il n'y a pas d'autres a qui vérifie a^x>=x+1 ?

Ah oui, c'est bien ce que je craignais, je n'ai pas toutes les solutions.

merci

**Bleyblue** · 20/09/2005, 19h33

J'ai essayé avec plusieurs valeurs de a (1,5; 2; e; 3; 4; 7) et je suis quasiment sûr que le a correspondant est bien e, mais je n'arrive pas à justifier ça de manière convenable ...

invité576543 · 20/09/2005, 19h54

Envoyé par Bleyblue

J'ai essayé avec plusieurs valeurs de a (1,5; 2; e; 3; 4; 7) et je suis quasiment sûr que le a correspondant est bien e, mais je n'arrive pas à justifier ça de manière convenable ...

Bonsoir,

Si tu as essayé, tu dois pouvoir donner un contre-exemple, pour a=4 par exemple, une valeur de x ne respectant pas l'inégalité.

Cordialement,

**Bleyblue** · 20/09/2005, 20h08

Bien sûr, x = 0,1 :

4^1/10 = $\text{[math]}$

or

4 + 0,1 = 4,1

et donc (x + 1) > a^x

Par contre pour a = e, on peut toujours chercher une valeur x tels que 1 + x soit plus grande que e^x

Mais ça ne démontre rien ça ...

merci

**GuYem** · 20/09/2005, 20h10

Bon en fait ça ne doit pas être trop compliqué de montrer qu'il n'y a que e qui marche. Tu as déjà vu que a doit être strictement plus grand que 1.

Prend un 1<a<e par exemple.

regarde la fonction $\text{[math]}$

Aprés dérivation ca donne $\text{[math]}$

Donc ses (son) points critiques sont (est) $\text{[math]}$ (>0 car 1<a<e)
De plus la dérivée change de signe à cet endroit là, donc on a bien à faire à un max ou un min.

Mais la fonction en ce point critique vaut
$\text{[math]}$

On a le <0 car a est différent de e, la fonction ln(x) est toujours plus petite que x-1 sauf pour x=1.

Du coup en récapitulant on a gagné :
La fonction $\text{[math]}$ a un min ou max en un certain point et ce min ou max est négatif.
Si c'est un max on est bien content car alors la fonction est toujours négative et a^x est toujours plus petite que x+1.
Mais en fait il se trouve que c'est un min mais ça marche quand même car alors au moins autour du point critique la fonction est négative et a^x ets plus petit que x+1.

Pour a>e, c'est kifkif bourriquet sauf que le point critique est négatif et patati et patata

**Duke Alchemist** · 20/09/2005, 20h20

Bonsoir.

a^x=1+x pour a>0, n'est-il pas équivalent à a=(1+x)^1/x pour x non-nul ??

Serait-ce trop facile ??...

Il suffirait alors d'étudier y=(1+x)^1/x et de déduire les intersections avec y=a

Remarquez que a=e est une valeur limite et interdite dans ce cas puisque x doit être non-nul (=lim en 0 de (1+x)^1/x) et que la limite en +infini c'est 1.

Toute valeur de a>1 serait alors solution de l'égalité...
Maintenant pour l'inégalité, il faut faire attention à la valeur de x !!

Bon, si j'ai dit une GROSSE bêtise, j'aimerais bien qu'on m'explique.
Merci.

Bonne soirée !
Duke.

invité576543 · 20/09/2005, 20h27

Envoyé par Bleyblue

Bien sûr, x = 0,1 :

4^1/10 = $\text{[math]}$

or

4 + 0,1 = 4,1

et donc (x + 1) > a^x

Aïe!! Vérifies un peu ce que tu écris, il y a une grosse erreur!

Cordialement,

**GuYem** · 20/09/2005, 20h29

Oui une petite confusion entre x et a

invité576543 · 20/09/2005, 20h38

Envoyé par GuYem

Oui une petite confusion entre x et a

Il pouvait peut-être trouver tout seul, non?

**GuYem** · 20/09/2005, 20h41

oops. Entendu je me tais.

J'en ai déjà trop dit :-#

**Bleyblue** · 20/09/2005, 20h51

J'ai trouvé tout seul mmy, je me suis levé exprès du lit pour essayer de réparer ce que j'ai dis mais évidemment c'est trop tard

Le reste de vos réponses je lirai ça demain parce que la ...
Et je pense que je ferai mieux de me reconvertir en philosophe parce que comme mathématicien fanchement, je ne vaux pas cher ...

merci à tous

**GuYem** · 20/09/2005, 20h58

Bah dis pas ça, ça vient avec l'habitude et la pratique, et ça doit aussi rester un loisir.
Et bonne nuit aussi

**Bleyblue** · 21/09/2005, 18h56

Envoyé par GuYem

Bah dis pas ça, ça vient avec l'habitude et la pratique,

Je le sais bien, mais l'ennui c'est que je commence à l'avoir cette habitude, et que ça ne vient tjrs pas ...

Je lis vos réponse maintenant, merci !

inviteaf1870ed · 23/09/2005, 08h50

Une petite suggestion : prendre le log des deux membres de l'égalité, et étudier les variations de la fonction [log(1+x)]/x

Il me semble que cela résoud le problème, sans calculs extravagants.

**GuYem** · 23/09/2005, 08h59

Oui ericcc tu as raison ça marche aussi.
Enfin j'aurais plutôt pris le log et étudié ln(1+x) - x.ln(a). Il faut bien faire gaffe à prendre x>-1 et a différent de 1.
Le résultat tombe alors un peu plus facilement qu'avec mes "calculs extravagants" Il y a cependant encore du ln(ln(a)) qui traine

invité576543 · 23/09/2005, 09h02

Bonjour,

Bien compliquées vos approches. Est-ce qu'on est toujours en mode "exo", ou on peut passer en mode "discussion"?

Cordialement,

**GuYem** · 23/09/2005, 09h04

Je pense qu'on peut passer en mode discussion. Un forum c'est fait pour ça non?

inviteaf1870ed · 23/09/2005, 09h12

En fait j'avais compris qu'on imposait x positif ou nul. Dans ce cas c'est plutot simple : comme la fonction [log(1+x)]/x est strictement décroissante, et que sa limite vaut 1 en 0 (on la prolonge par continuité), elle est inférieure ou égale à 1.
Donc tout nombre a tel que log(a) supérieur ou égal à 1 remplit la condition; donc a est supérieur ou égal à e.

QED

invité576543 · 23/09/2005, 09h25

En qq lignes, avec outils un peu plus puissants:

- e^x=1 + x + x^2/2 + ... > 1 + x pour x>0
- a -> a^x croissante pour a>e et x>0, donc a^x>e^x>1+x
- si a<e a^x = 1 + ln(a)x +o(x), (dérivée en 0) donc il existe un x petit tel que <1+x

Doù $\text{[math]}$

Cordialement,

a^{x} > 1 + x

a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x

Re : a^{x} > 1 + x