topologie grossiere

[invite7c294408]

J'ai lu quelquepart que toute fonction continue E muni de la topologie grossiere dans F est constante.

Je prends n' importe quel ouvert V de F , j'obtient f-1(V) = E puisque le seul ouvert non vide est E.
J'essaie d'obtenir f(E) = singleton (x) mias je bloque.
Priere de m'aider.

D'ailleurs que veut dire fonction constante en notion ensembliste?
1) l'image de f par n'importe quel sous-ensemble de E est un singleton dans F
2)l' image de f par n' importe quel sous-ensemble de E est un sous-ensemble " constant" dans F.
Autrement dit il existe F1 inclus dans F tel que quelquesoit E1 inclus dans E on a f(E1) = F1.
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[GuYem]

J'ai déjà répondu à ça il me semble, quelque part au fin fond d'un fil...

Pour clarifier les choses une fonction constante c'est une fonction qui envoie tout sur le même élément de l'esapce d'arrivée. On va appeler cet élément c.

Maintenant si je prends E un espace topo (non vide), muni de sa topo grossière, et f une fonction continue de E dans F avec F espace topo (non vide!) quelconque alors on montre que f est constante de la manière qui suit :

Prend un élément x de E, pose c=(fx). (si f est constante, c est un bon candidat pour être cette constante non?)

D'un coup je crois qu'il faut supposer que les points sont fermés dans la topo de F ; on va donc le supposer.

On va regarder f^-1({c}), puisque {c} est fermé et que f est continue, alors f^-1({c}) doit aussi être fermé dans E. Seulement les seuls fermés de E sont E et le vide vu la topo qu'on a mise dessus.

Mais f^-1({c}) n'est pas vide puisque x est dedans. Donc f^-1({c})=E et tout E s'envoie sur c.

[inviteca3a9be7]

Salut,

Un mot juste pour complèter la réponse de GuYem.

"Tel que" c'est faux : par exemple si F est muni lui aussi de la topologie malpolie

Plus sérieusement, il faut supposer un minimum sur F, le minimum étant sûrement T0 = Kolmogorov (si deux points x et y sont distincts on peut trouver un ouvert contenant x et pas y ou un ouvert contenant y et pas x), le minimum minimorum des topologies fréquentables.

Si f est non constante, alors on prend x et y tq x != y, f(x) != f(y) et O un ouvert qui contient x et pas y. Mais est non vide est donc vaut E tout entier, ce qui est impossible (y ne serait pas "atteint").

[invite7c294408]

donc ca confirme qu'il y a une erreur dans l'exrecice, et ca explique pourquoi je m'arrachait les cheveux en quatre. Ca ne marche pas pour n'importe quel espace d'arrivee. Ils se sont plantes dans leurs hypotheses...
Merci de l'aide!

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Salut,

Un mot juste pour complèter la réponse de GuYem.

"Tel que" c'est faux : par exemple si F est muni lui aussi de la topologie malpolie

J'ai bien précisé que je supposais les points fermés dans F.
Cependant c'est peut-être un peu fort comme hypothése. LA séparabilité dont tu as parlé doit suffire.