Bonjour,
On me demande de montrer que si U et V sont des ouverts denses dans IR^n, alors U inter V est dense dans IR^n. J'ai essayé de montrer que tout élément de IR^n était la limite d'une suite de U inter V, mais je n'y arrive pas...
Si vous pouviez me donner un petit coup de pouce, ça serait sympa!
Eric
Soit x dans IR^n, soit e > 0 : il suffit de montrer qu'il existe un élément z de U inter V tel que |x-z| < e.
U dense : il existe w dans U tel que |x-w| < e/2
U ouvert : il existe d < e/2 tel que pour tout y : |w-y|<d => y dans U
V dense : il existe z dans V tel que |z-w| < d < e/2
Donc v est dans U inter V
Et |x-z| < |x-w| + |w-z| < e
Merci beaucoup! Ca me va bien, mais je serais aussi à la recherche d'une démonstration topologique avec des voisinages, parce que on ne me précise pas de norme pour l'espace IR^n, donc j'imagine que c'est plus ce qu'ils attendent...
Eric
en dimension finie, toute les normes sont équivalentes.
il n'est donc pas nécessaire de préciser une norme dans IR^n
Oui sauf qu'ici il n'est pas question de norme, mais de topologie générale.
Sauf que je ne suis pas sur que ce soit vrai pour toute topologie, ne faut il pas supposer que l'on est dans un espace métrique, ou dans un espace de Baire?
Hello,
Pour continuer sur le sujet, arrêtez moi si je me trompe : si l'espace en question vérifie le théorème de Baire alors il vérifie nécessairement la propriété énoncée non ?
Et s'il est métrique il vérifie le théorème de Baire donc c'est plié aussi.
@+
vu la définition, vouiPour continuer sur le sujet, arrêtez moi si je me trompe : si l'espace en question vérifie le théorème de Baire alors il vérifie nécessairement la propriété énoncée non ?
Si (X,d) est un espace métrique complet alors il est de baire
on peut effectivement le dire sans passer par des epsilons:parce que on ne me précise pas de norme pour l'espace IR^n, donc j'imagine que c'est plus ce qu'ils attendent...
en gros, il s'agit de montrer que pour tout point x de Rn, parmi toutes les suites de Vn tendant vers x, pour tout voisinage de x, il en existe au moins une qui a des points dans U, car alors il suffira de prendre ces points qui sont à la fois dans U et V et d'en faire une suite qui, par construction, tend vers x. Comme tout ouvert de U intersecte V (car dense) et réciproqement, c'est nif
en fait je n'ai fait que 'dire' le message du chasseur de cafards
On n'a pas encore vu le théorème de Baire... Mais sinon la démo de moijdiksécool me convient bien.
Merci beaucoup!
