bonjour, je suis en train de me casser la tête sur les bases de la topologie, sujet complètement neuf pour moi.
Je n´arrive pas en me mettre dans la tête la différent entre un voisinage de x et un intervalle tout bête qui contient x. Quel est donc le sens profond de ce voisinage?
Attention quand tu parles d'intervalle, tu te places dans R. Est-ce que vous faites de la topo seulement sur R ?
Enfin bon, au cas où, je reste dans R:
[a;a] = {a} est un intervalle qui contient a mais ce n'est pas un voisinage de a dans R, car un voisinage doit contenir une boule ouverte centrée en a, ie un intervalle de la forme ]a-r;a+r[ avec r strictement positif.
Inversement, ]a-r;a+r[ union [a+2r;+infini[ (avec r strictement positif) est un voisinage de a mais ce n'est pas un intervalle.
Salut,
L'intérêt de la notion de voisinage c'est que l'on peut mettre des contraintes dessus : on peut demander à ce qu'il soit fermé (!), compact, connexe.
Ca donne lieu à des espaces localement compact/connexe, ... , notions fort utiles.
salut,
boule ouverte?... désolé, j´en suis pas encore là, mais bon ton explication m´a déjà ouvert les yeux.
Donc on parle d´intervalle que sur R?
J´ai une question encore plus bête: Je lis dans mes bouquins que deux ensemble se "rencontre". Là j´ai un simple pb. de vocabulaire. Je crois comprendre par là que leur intersection n´est pas vide. Exact?
Désolé de poser des questions profanes, mais je commence tout juste tout juste après beaucoup d´années.
Dire que deux ensembles se rencontrent ça veux en effet dire qu'ils ont une intersection non vide.
Pour la topologie il serait bien que tu nous dise si tu travailles sur un espace toplogique quelconque ou bien uniquement sur R. Car dans R beaucoup de chose devienne simples.
Je travaille d´une façon générale sur le chapitre de la topologie. Cela inclut R mais pas seulement. Je m´étonne que la notion d´intervalle n´ai de sens que sur R, car je croyais qu´elle est valable sur tout corps totalement ordonné.
C'est vrai. Mais tu en connais beaucoup d'autres? Alors que des espaces avec topologie qui ne sont ni des corps, ni totalement ordonnés, il y en a plein que l'on rencontre couramment!Envoyé par christophe_de_Berlin
Cordialement,
On peut créer des relations d'ordre totales ailleurs que sur R bien sûr, sur C par exemple, mais bon je ne crois pas que ce soit très utile, en topologie du moins.
Oui évidement.
Je lis dans mon bouqin les définitions "intérieur de A", "adhérence de A", "point d´accumulation" et "point isolé".
Toutes ces définitions se réfèrent exclusivement à R. Ne sont-elles valables que sur R ou aussi sur d´autres espaces topologiques?
L'étude des corps totalement ordonné est un morceau constant de l'Algèbre. Une propriété intéressante étant que n'importe quel corps ordonné admet une cloture réelle close (admet une extension algébrique maximale dans laquelle il ne manque que "i" pour avoir un corps algébriquement clos).
Comme exemple, on pourra citer : Q, l'intersection entre la cloture algébrique de Q dans C avec R, R, le corps *R de Robinson qui est une extension élémentaire de R (une ultrapuissance de R).
La définition d'intervalle est généralisable à n'importe quel ensemble ordonné (généralement on n'utilise cette notion que sur les ensembles totalement ordonnés).
Non, on a pas du tout besoin d'être dans R pour définir ces notions.
Un voisinage de x dans un ensemble totalement ordonné muni de la topologie induite par l'ordre (on peut se restreindre à un corps ordonné ou à R : c'est la même chose) est un ensemble contenant un intervalle ouvert contenant x.bonjour, je suis en train de me casser la tête sur les bases de la topologie, sujet complètement neuf pour moi.
Je n´arrive pas en me mettre dans la tête la différent entre un voisinage de x et un intervalle tout bête qui contient x. Quel est donc le sens profond de ce voisinage?
Dans le cas de R, nous avons comme voisinages de 0 par exemple :
l'intervalle
l'ensemble
l'intervalle
l'ensemble
Certains intervalles contenant a ne sont pas des voisinages de a : tout ceux qui on une borne fermée en a :
]a-1 a] par exemple n'est pas un voisinage de a car il ne contient aucun intervalle ouvert contenant a.
On peut définir ces notions sur des espaces topologiques quelconques. Mais attention, parfois, la définition sur R est plus simple que dans un espace topologique quelconque.
Je pense que le plus simple c'est encore de se placer dans un espace métrique, c'est à dire un ensemble X muni d'une distance, pour voir que ces notions ne se restreignent pas à R.
Rappel: une distance c'est une application de XxX dans R telle que:
pour tous x et y dans X, d(x;y) = d(y;x) >= 0
d(x;y) = 0 <=> x=y
pour tous x, y et z dans X, d(x;y) <= d(x;z) + d(y;z) (inégalité triangulaire)
Dans R, (x;y) -> |x-y| est une distance
Dans R² tu peux prendre la distance classique (euclidienne)
etc
Tu définis alors les boules ouvertes:
B(x;r) = {y dans X / d(x;y) < r} (avec r > 0)
les boules fermées:
Bf(x;r) = {y dans X / d(x;y) <= r}
Tu vois que dans R muni de la distance (x;y) -> |x-y|, les boules ouvertes sont les ]x-r;x+r[ et les boules fermées sont les [x-r;x+r]
Tu définis un voisinage de x comme une partie de X qui contient une boule ouverte centrée en x.
Tu définis les ouverts comme les ensembles qui sont des voisinages de chacun de leur points, les fermés comme les complémentaires des ouverts.
etc, etc.
Bon on n'est pas non plus obligé de se placer dans un espace métrique, mais c'est encore une autre histoire
Merci, c´est exactement l´explication qu´il me fallait! J´ai une autre question:
Un point x est par définition toujours élément de son voisinage
donc sie x est un point intérieur de A, il est élément de A,
Donc Å C A,
ça me parait évident... mais j´suis quand même pas bien sûr.
Pas de problème.
Vu ta démonstration, j'imagine que vous avez défini l'intérieur de A comme l'ensemble des points dont A est un voisinage.
On peut aussi le définir de cette manière (équivalente): la réunion de tous les ouverts contenus dans A (c'est à dire le plus grand ouvert inclu dans A).
donc par exemple l´intérieur de [a, b] est ]a, b[? est aussi bête que ça
Peut-on analogiquement dire que tout élément de A est élément de son adhérence, donc que A C Ā?
Oui, et de même on peut définir l'adhérence comme l'intersection de tous les fermés contenant A (donc le plus petit fermé contenant A).
Mais encore faut-il démontrer que toutes les définitions sont équivalentes ...
