a^{x} > 1 + x

[GuYem]

Bien.

Tu peux faire la même chose pour montrer que a<= e ?
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[invité576543]

Bien.

Tu peux faire la même chose pour montrer que a<= e ?

C'est le troisième tiret, ou je n'ai pas compris ta question.

[inviteaf1870ed]

Oui mmy, mais ta démonstration suppose la réponse connue, et tu démontres alors qu'elle est bonne.
L'exercice était de trouver la plus petite valeur de a. C'est pour cela que je préfère ma méthode

[GuYem]

C'est le troisième tiret, ou je n'ai pas compris ta question.

Je crois que tun'as pas compris la question

Ici en fait on veut montrer que a=e. Il suffit de tracer quelques cournes pour se convaincre que c'est la réponse.

Ta méthode montre que a >= e ; et je te demandais simplement si elle ne pouvait pas montrer l'autre inégalité.

[inviteaf1870ed]

Guyem

La réponse est toute valeur plus grande que e, pas simplement e.

[GuYem]

Non. Essaye avec a=2, tu verras que x+1 passe par dessus 2^x pour des valeurs négatives.

La démonstration (trés condensée c'est vrai) que j'ai donné plus haut montre que a=e est la seule solution.

[inviteaf1870ed]

Je crois que l'exercice est posé pour x positif ou nul. Ou me trompe je ?

[GuYem]

Bonjour,

Je dois trouver tous les nombres a strictement positifs tels que :

Voilà l'énoncé donne par Beyblue. La localisation des x n'est pas précisée. Par défaut on prend R si aucune des fonctions ne l'interdit.

[invité576543]

Argh Autant pour moi, j'avais limiter à x>0...

[invité576543]

Non. Essaye avec a=2, tu verras que x+1 passe par dessus 2^x pour des valeurs négatives.

Mais 2<e, sans intérêt!

[invité576543]

Si e est solution, tout a>e l'est parce que

- a -> a^x croissante pour a>e et tout x (dérivée ln(a)a^x>0), donc a^x>e^x>1+x

[GuYem]

Tu t'es trompé de variable mmy. On ne considère que des a>0.
La dérivée de a->a^x est x.a^(x-1). Quoi de plus logique me direz-vous? (faire le parallèle avec x dans N)

Du coup si x est négatif, la fonction est décroissante et ton raisonnement ne tiens plus.

Tu as dérivé par rapport à x.

Fais tracer quelques courbes x->a^x à ta calculatrice préférée et tu te convaincras vite que la seule valeur de a>0 pour laquelle la courbe reste au dessus de 1+x est e.

[invité576543]

Grosse bourde. Je retourne à l'école.

[invité576543]

a^x-1-x s'annulle en 0
La dérivée de a^x-1-x en 0 est ln(a)-1; si la dérivée n'est pas nulle, un des deux côtés est négatif. Seule solution a=e.

[GuYem]

a^x-1-x s'annulle en 0
La dérivée de a^x-1-x en 0 est ln(a)-1; si la dérivée n'est pas nulle, un des deux côtés est négatif. Seule solution a=e.

Ca marche aussi est c'est beaucoup plus simple