Bien.
Tu peux faire la même chose pour montrer que a<= e ?
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a^{x} > 1 + x
- 23/09/2005, 10h31 #31invitedf667161
Re : a^{x} > 1 + x
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- 23/09/2005, 10h32 #32invité576543Invité
Re : a^{x} > 1 + x
C'est le troisième tiret, ou je n'ai pas compris ta question.
Envoyé par GuYem
- 23/09/2005, 10h45 #33inviteaf1870ed
Re : a^{x} > 1 + x
Oui mmy, mais ta démonstration suppose la réponse connue, et tu démontres alors qu'elle est bonne.
L'exercice était de trouver la plus petite valeur de a. C'est pour cela que je préfère ma méthode
- 23/09/2005, 10h48 #34invitedf667161
Re : a^{x} > 1 + x
Envoyé par mmy
Je crois que tun'as pas compris la question
Ici en fait on veut montrer que a=e. Il suffit de tracer quelques cournes pour se convaincre que c'est la réponse.
Ta méthode montre que a >= e ; et je te demandais simplement si elle ne pouvait pas montrer l'autre inégalité.
- 23/09/2005, 10h54 #35inviteaf1870ed
Re : a^{x} > 1 + x
Guyem
La réponse est toute valeur plus grande que e, pas simplement e.
- 23/09/2005, 10h57 #36invitedf667161
Re : a^{x} > 1 + x
Non. Essaye avec a=2, tu verras que x+1 passe par dessus 2^x pour des valeurs négatives.
La démonstration (trés condensée c'est vrai) que j'ai donné plus haut montre que a=e est la seule solution.
- 23/09/2005, 11h00 #37inviteaf1870ed
Re : a^{x} > 1 + x
Je crois que l'exercice est posé pour x positif ou nul. Ou me trompe je ?
- 23/09/2005, 11h02 #38invitedf667161
Re : a^{x} > 1 + x
Voilà l'énoncé donne par Beyblue. La localisation des x n'est pas précisée. Par défaut on prend R si aucune des fonctions ne l'interdit. Envoyé par Bleyblue Bonjour,
Je dois trouver tous les nombres a strictement positifs tels que :
- 23/09/2005, 11h18 #39invité576543Invité
Re : a^{x} > 1 + x
Argh Autant pour moi, j'avais limiter à x>0...
- 23/09/2005, 11h20 #40invité576543Invité
Re : a^{x} > 1 + x
Mais 2<e, sans intérêt! Envoyé par GuYem
- 23/09/2005, 11h24 #41invité576543Invité
Re : a^{x} > 1 + x
Si e est solution, tout a>e l'est parce que
- a -> ax croissante pour a>e et tout x (dérivée ln(a)ax>0), donc ax>ex>1+x
- 23/09/2005, 11h41 #42invitedf667161
Re : a^{x} > 1 + x
Tu t'es trompé de variable mmy. On ne considère que des a>0.
La dérivée de a->a^x est x.a^(x-1). Quoi de plus logique me direz-vous? (faire le parallèle avec x dans N)
Du coup si x est négatif, la fonction est décroissante et ton raisonnement ne tiens plus.
Tu as dérivé par rapport à x.
Fais tracer quelques courbes x->a^x à ta calculatrice préférée et tu te convaincras vite que la seule valeur de a>0 pour laquelle la courbe reste au dessus de 1+x est e.
- 23/09/2005, 11h53 #43invité576543Invité
Re : a^{x} > 1 + x
Grosse bourde. Je retourne à l'école.
- 23/09/2005, 12h35 #44invité576543Invité
Re : a^{x} > 1 + x
ax-1-x s'annulle en 0
La dérivée de ax-1-x en 0 est ln(a)-1; si la dérivée n'est pas nulle, un des deux côtés est négatif. Seule solution a=e.
- 23/09/2005, 12h54 #45invitedf667161
Re : a^{x} > 1 + x
Envoyé par mmy
Ca marche aussi est c'est beaucoup plus simple