Développements limités, continuité et limites...

[invite78112d50]

Bonjour, j'ai un petit... enfin disons GROS problème de maths (mais, ça on s'en serait douté!). Alors euh... Help

Je vais commencer par mettre l'énoncé, ensuite je dirai ce que j'ai trouvé et où je bloque!

1. Trouver, si elles existent, les limites suivantes:
a.
b.

2. Soit f la fonction
où a appartient à IR.
a. Déterminer le réel a pour que f soit prolongeable par continuité en 0.
b. Le prolongement ainsi obtenu est-il dérivable en 0 ?


Donc ce que j'ai trouvé:
La première limite, le 1.a, en utilisant un encadrement et les développements limités... (j'ai trouvé -oo)

Ce que je n'ai pas trouvé:
Tout le reste .

Ce que j'ai essayé:
Pour le 1.b.:
Les développements limités du numérateur puis du dénominateur puis j'ai essayé de simplifier, mais je ne trouve pas le "bon résultat" (merci à la calculatrice de me dire qu'il faut trouver -2...): Je trouve un infini (+ ou - c'est selon).

Pour le 2.a.
Euh... la je sais qu'une fonction est continue en 0 si lim f(x) quand x tend vers 0 est égale à f(0), mais à quoi ça peut bien me servir???
J'ai essayé de trouver la limite de et je trouve un infini...
Je ne vois pas comment prolonger alors!
Si quelqu'un pouvait m'expliquer la marche à suivre? Et quoi appliquer quand? Parce que la je suis bien embrouillée!

Pour le 2.b
Sans la question 2.a. forcément, c'est dur!
Je pense qu'il faut revenir à la définition de la dérivabilité en un point et calculer la limite du taux de variation (certainement en utilisant, encore une fois, les développements limités)...

Merci d'avoir lu, et merci pour l'aide apportée!

ps: Question bonus: comment on sait à quel ordre on doit faire un DL quand on cherche une limite? Y a un moyen de le voir?
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[invite899aa2b3]

Bonjour.
Pour la question 1, ce sont les limites en quel point?
Pour la question 2: quel est l'argument du logarithme?
Pour la 2.b je pense que c'est ce qu'il faut faire.

[invite78112d50]

Oups... je suis un boulet!

Pour la 1.a, c'est la limite en 0.
Pour la 1.b, c'est en 1.

Et j'ai oublié une parenthèse au logarithme:

ou pour vraiment bien voir:



Donc l'argument du logarithme est 1+2x+cos(x) (je pense que c'est bien ça que vous entendez par argument?!).

Désolée pour les erreurs de "recopiage" d'énoncé...

[invite899aa2b3]

Pour la 2, on ne peut pas directement appliquer la formule du développement limité de en 0 car (l'argument) ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0. il y a une petite "magouille": .
On a donc . On pose alors et on peut aplliquer la formule après avoir écrit le développement limité de au voisinage de 0.
Le développement limité de la racine ne pose pas de problème.
On doit pouvoir trouver la limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

Pour la 1.b, il faut faire un changement de variable pour se ramener à une limite en 0 et à des développements limités connus.

[invite78112d50]

Je vais essayer ça alors!
J'avoues que j'avais oublié de vérifier que l'argument du logarithme tend bien vers 0! Honte à moi!


Merci beaucoup!