Salut.
Comme dit le titre, j'aimerai comprendre ce qu'est une puissance. On le voit généralement comme une simplification d'écriture,. Mais si on pousse un peu, on voit que cette définition est très réductrice puisque ne permet pas de comprendre pourquoi
J'espère que la question n'est pas trop bête, je n'ai pas trouvé réponse sur internet.
Merci d'avance.
Une petite remontée.
Ce n'est pas bête du tout.Envoyé par DaoLoNg WoNg
J'espère que la question n'est pas trop bête, je n'ai pas trouvé réponse sur internet
Et tu verras qu'on peut tout à fait définir
En terminale on t'introduira 2 nouvelles fonctions élémentaires: la fonction exponentielle (e^x), et la fonction logarithme népérien (ln).
Grâce à ces deux fonctions, on définit alors:
Mais tu vas me dire ok c'est bien beau tout ça, mais ça fait encore une puissance, et qui plus est avec des nombres qu'on connaît encore moins. Alors bon...Je peux te répondre en étant très bourrin que tu verras peut-être plus tard (pour la première je ne sais pas,pour la seconde c'est sûr) que:
Et
Donc on peut définir :
Et je t'accorde que c'est très peu digeste, et qu'on n'utilise évidemment jamais cela, mais qu'on étudiera plutôt les propriétés de ln et exp pour remonter ensuite aux propriétés des puissances bien connues.
Merci pour la réponse
Tu définies
D'accord, c'est le x^k qui te dérange.Merci pour la réponse
Tu définies
Ici il n'y a pas d'ambiguité puisque k est entier, donc x^k=x.x.x.x....x (k fois) tout bêtement.
On peut définir aussi l'exponentielle comme l'unique solution de l'équation différentielle:
y'=y
y(0)=1
Dans ce cas, plus de puissances (même entières).
Il y a des moyens de définir directement, mais c'est peut-être un peu abstrait. Donnons le quand même...Tu définies
R muni de l'addition forme un groupe de Lie à une seule dimension. R*+ muni de la multiplication forme un groupe de Lie à une seule dimension. Sur ces bases on peut montrer qu'ils sont continument isomorphes.
Il existe donc des isomorphismes continus de (R, +) vers (R*+, multiplication), et on appelle "puissance de a" le seul isomorphisme continu tel que l'image de 1 soit a. (L'unicité se démontre...)
A partir de cela, on peut montrer toutes les propriétés. Par exemple, que a1=a vient de la définition, a2=a a se démontre par la notion d'isomorphisme, de même pour a-1=1/a, d'où le calcul de an pour tout n relatif. Mais l'isomorphisme permet aussi de montrer que a1/2= racine de a, et par la même méthode on obtient les valeurs pour tous les rationnels. La continuité permet d'atteindre les valeurs pour tout R...
Cordialement,
En fait, si tu regardes un peu en arrière, on t'a défini (en primaire) la multiplication par rapport à l'addition de la même façon (une répétition de +)... Et les nombres réels sont venus (bien) plus tard.Salut.
Comme dit le titre, j'aimerai comprendre ce qu'est une puissance. On le voit généralement comme une simplification d'écriture,
J'espère que la question n'est pas trop bête, je n'ai pas trouvé réponse sur internet
Merci d'avance.
Maintenant, si on défini xn = 1*x*x*x*.. (x répété n fois) (le 1 initial est très utile quand n vaut 0)
en gardant cette définition à l'oeil
on trouve facilement que xm+n = xm * xn
ainsi que xm-n = xm / xn (en gros si on veux virer un certain nombre de multiplication par x, il faut diviser par ce même certain nombre de fois par x.)
donc du coup (si m = 0): x-n = 1/xn (encore une fois, merci le 1 initial)
si on prend maintenant l'exemple x0.5:
x = x1 = x0.5+0.5 = x0.5 * x0.5
donc x0.5 = racine carrée de x
de façon plus globale
x1/n = racine nème de x (avec les limitations liées aux racines (bêtes questions de signes...) si on veut rester réel)
et on peut continuer à étendre aux puissances irrationnelles de nombre réels (pipi), ainsi qu'aux puissances complexes...
Merci beaucoup
