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Qu'est ce que la puissance ? (exposant)



  1. #1
    DaoLoNg WoNg

    Qu'est ce que la puissance ? (exposant)


    ------

    Salut.

    Comme dit le titre, j'aimerai comprendre ce qu'est une puissance. On le voit généralement comme une simplification d'écriture, . Mais si on pousse un peu, on voit que cette définition est très réductrice puisque ne permet pas de comprendre pourquoi ou bien pourquoi

    J'espère que la question n'est pas trop bête, je n'ai pas trouvé réponse sur internet .

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    DaoLoNg WoNg

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Une petite remontée.


  3. #3
    Ledescat

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    J'espère que la question n'est pas trop bête, je n'ai pas trouvé réponse sur internet .
    Ce n'est pas bête du tout.

    Et tu verras qu'on peut tout à fait définir .

    En terminale on t'introduira 2 nouvelles fonctions élémentaires: la fonction exponentielle (e^x), et la fonction logarithme népérien (ln).

    Grâce à ces deux fonctions, on définit alors:


    Mais tu vas me dire ok c'est bien beau tout ça, mais ça fait encore une puissance, et qui plus est avec des nombres qu'on connaît encore moins. Alors bon...Je peux te répondre en étant très bourrin que tu verras peut-être plus tard (pour la première je ne sais pas,pour la seconde c'est sûr) que:


    Et



    Donc on peut définir :




    Et je t'accorde que c'est très peu digeste, et qu'on n'utilise évidemment jamais cela, mais qu'on étudiera plutôt les propriétés de ln et exp pour remonter ensuite aux propriétés des puissances bien connues.
    Cogito ergo sum.

  4. #4
    DaoLoNg WoNg

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Merci pour la réponse

    Tu définies par une expression qui porte elle-même une puissance, on ne peut pas définir la puissance en utilisant une puissance (?).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Ledescat

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    Merci pour la réponse

    Tu définies par une expression qui porte elle-même une puissance, on ne peut pas définir la puissance en utilisant une puissance (?).
    D'accord, c'est le x^k qui te dérange.
    Ici il n'y a pas d'ambiguité puisque k est entier, donc x^k=x.x.x.x....x (k fois) tout bêtement.
    On peut définir aussi l'exponentielle comme l'unique solution de l'équation différentielle:
    y'=y
    y(0)=1

    Dans ce cas, plus de puissances (même entières).
    Cogito ergo sum.

  7. #6
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    Tu définies par une expression qui porte elle-même une puissance
    Il y a des moyens de définir directement, mais c'est peut-être un peu abstrait. Donnons le quand même...

    R muni de l'addition forme un groupe de Lie à une seule dimension. R*+ muni de la multiplication forme un groupe de Lie à une seule dimension. Sur ces bases on peut montrer qu'ils sont continument isomorphes.

    Il existe donc des isomorphismes continus de (R, +) vers (R*+, multiplication), et on appelle "puissance de a" le seul isomorphisme continu tel que l'image de 1 soit a. (L'unicité se démontre...)

    A partir de cela, on peut montrer toutes les propriétés. Par exemple, que a1=a vient de la définition, a2=a a se démontre par la notion d'isomorphisme, de même pour a-1=1/a, d'où le calcul de an pour tout n relatif. Mais l'isomorphisme permet aussi de montrer que a1/2= racine de a, et par la même méthode on obtient les valeurs pour tous les rationnels. La continuité permet d'atteindre les valeurs pour tout R...

    Cordialement,

  8. #7
    polo974

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    Salut.

    Comme dit le titre, j'aimerai comprendre ce qu'est une puissance. On le voit généralement comme une simplification d'écriture, . Mais si on pousse un peu, on voit que cette définition est très réductrice puisque ne permet pas de comprendre pourquoi ou bien pourquoi

    J'espère que la question n'est pas trop bête, je n'ai pas trouvé réponse sur internet .

    Merci d'avance.
    En fait, si tu regardes un peu en arrière, on t'a défini (en primaire) la multiplication par rapport à l'addition de la même façon (une répétition de +)... Et les nombres réels sont venus (bien) plus tard.

    Maintenant, si on défini xn = 1*x*x*x*.. (x répété n fois) (le 1 initial est très utile quand n vaut 0 )
    en gardant cette définition à l'oeil
    on trouve facilement que xm+n = xm * xn
    ainsi que xm-n = xm / xn (en gros si on veux virer un certain nombre de multiplication par x, il faut diviser par ce même certain nombre de fois par x.)

    donc du coup (si m = 0): x-n = 1/xn (encore une fois, merci le 1 initial)

    si on prend maintenant l'exemple x0.5:
    x = x1 = x0.5+0.5 = x0.5 * x0.5
    donc x0.5 = racine carrée de x

    de façon plus globale
    x1/n = racine nème de x (avec les limitations liées aux racines (bêtes questions de signes...) si on veut rester réel)

    et on peut continuer à étendre aux puissances irrationnelles de nombre réels (pipi), ainsi qu'aux puissances complexes...

  9. #8
    DaoLoNg WoNg

    Re : Qu'est ce que la puissance ? (exposant)

    Merci beaucoup

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