[Maths] [TS] Arithmétique : trois entiers impairs consécutifs

[kNz]

Déterminer tous les couples (a,b,c) de N^3 tels que a, b et c soient trois entiers impairs consécutifs et que a²+b²+c² soit un nombre de quatre chiffres identiques.
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[invitefc60305c]

On a :



donc

Par ailleurs, un nombre de 4 chiffres identiques s'écrit ainsi : 1111*a avec
On exclue 0 car la somme de 3 nombres entiers positifs ne peut être nulle.

Tous les cas où a est différent de 5 sont impossibles.

Si ,
On résouds l'équation et on trouve :
ou
Donc finalement, les couples sont :
et
soit et

[kNz]

Par ailleurs, un nombre de 4 chiffres identiques s'écrit ainsi : 1111*a avec

Petite remarque, ce sont des accolades, pas des crochets, tu peux aussi utiliser qui désigne l'ensemble des entiers consécutifs de 1 à 9.

On exclue 0 car la somme de 3 nombres entiers positifs ne peut être nulle.

Ba si, si les trois sont égales à 0, ce qu'il faut dire ici, c'est qu'ils sont impairs, donc strictement supérieur à 0, et donc leur carré aussi.

Tous les cas où a est différent de 5 sont impossibles.

Ca me paraît bien rapide comme justification

Si ,
On résouds l'équation et on trouve :
ou
Donc finalement, les couples sont :
et
soit et

1. Ce sont des triplets, pas des couples.
2. N'y en a-t-il pas un que tu peux éliminer ? cf l'ensemble d'appartenance des entiers en question !

[kNz]

Déterminer tous les couples (a,b,c) de N^3 tels que a, b et c soient trois entiers impairs consécutifs et que a²+b²+c² soit un nombre de quatre chiffres identiques.

Il fallait bien sûr lire triplets, shame on me rire:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

J'ai oublié de préciser "consécutifs".
Il fallait lire "somme de 3 entiers positifs consécutifs".

Justification : trivial

1) hum hum... et l'énoncé ?
2) Effectivement, on travaille dans N^3 donc je peux supprimer (le pauvre ) le 1er >> TRIPLET <<

[kNz]

J'ai oublié de préciser "consécutifs".
Il fallait lire "somme de 3 entiers positifs consécutifs".

Qui plus est, ici il est question de la >> SOMME DE TROIS CARRES D'ENTIERS IMPAIRS CONSECUTIFS <<

Justification : trivial

Je n'en suis pas si sûr, donne moi la tienne pour voir

[invitefc60305c]

Les équations pour a=1,2,3,4,6,7,8,9 n'ont aucune solution entière.

[kNz]

Si t'as testé tous les cas je te fais confiance
Mais si tu tombes sur ça un jour en ds, tu vas perdre un max de temps, essaie de trouver une condition nécessaire sur a pour te faire gagner du temps.

[invitefc60305c]

est un entier impair.
Donc a est impair.
a = 1,3,5,7,9

On réduit le nombre de cas

[kNz]

C'est déjà mieux

[invitefc60305c]

On remarque que le chiffre des unités d'un entier impair au carré est 1 ou 5 ou 9.

De plus, soit a,b,c,d,e des entiers impairs consécutifs, on remarque que :






On a une boucle.

Or on considère la somme de 3 entiers positifs impairs (car le carré d'un entier impair est impair) :
Donc, a (cf: 1111*a) qui est (entre autre) le chiffre des unités de cette somme qui vaut est :
soit -> a = 5
soit -> a = 3
soit -> a = 1

On réduit encore le nombre de cas possible.

[invite0914d5b3]

Bonjour,
voici ma solution:
a²+b²+c² avec (a,b,c) impaire nous donne:
pour x impaire: x²+(x+2)²+(x+4)²=3x²+12x+20 (E)

E=k*1111 ( k appartient [1,9] )
car E appartient [1000,9999] (4 chiffres)

or x impaire => 3x² est impaire et 12 x est paire
donc E est impaire
donc k est impaire.
On peut exclure k=3 et k=9 car 3 divise 3x² et 3 divise 12 mais 3 ne divise pas 20.

il nous reste k=1 k=5 ou k=7

Résolvons 3x²+12x+(20-k1111)=0

il nous suffit de calculer delta= 12²-4*3*(20-k1111)
si delta n'appartient pas a lN alors on peut exclure les k correspondant. On exclu ainsi k=1 et k=7
il nous reste k=5
résolvant E=5555
on obtient x=41 et (a,b,c)=(41,43,45) est la seule solution.

[invitefc60305c]

Bonsoir.

Est-ce que quelqu'un, pas forcément kNz, peut me dire si mon post #11 est correct ou pas.

Merci bien !

[invite0914d5b3]

Salut,
Bah en faite si ta boucle est correcte, alors c'est bon, mais encore faudrais t'il le prouver par une démo...
et puis je ne vois vraiment pas pourquoi tu t'interésse a la congruence modulo 10, c'est franchement inutil et un peu compliqué...
il y a des truc largement plus évident et plus facil a mettre en oeuvre.

Il ya une erreur dans mon post il ne faut pas lire "si delta n'appartient pas a lN" mais plutot "si racine de delta..."

[invitefc60305c]

Bah en faite si ta boucle est correcte, alors c'est bon, mais encore faudrais t'il le prouver par une démo...
et puis je ne vois vraiment pas pourquoi tu t'interésse a la congruence modulo 10, c'est franchement inutil et un peu compliqué...
il y a des truc largement plus évident et plus facil a mettre en oeuvre.

Ma boucle est correcte je pense, j'l'ai faite pour pas mal d'entier impair. Ca a toujours marché.
Mais c'est pas vraiment une demo (alors que pourtant dans les exo de spé, on fait souvent ça...).

La congruence modulo 10 c'est pour déterminer le chiffre des unités des entiers impairs élevés au carré.
C'est pour "prouver" ce que j'affirme juste en haut, à savoir "On remarque que le chiffre des unités d'un entier impair au carré est 1 ou 5 ou 9."

Bien sûr qu'il y a plus évident
Mais j'aimerai avoir un avis sur ma ptite "démo"

[invite5e51cc3a]

bonjour,

j'ai un probleme ou j'ai du mal à resoudre aidez moi s'il vous plait !!

Fabrice prétend que s'il ajoute 1 a la somme des carrés de tois entiers consécutifs ( qui se suivent ) obtient toujours un multiple de 3.
a) Vérifier cela pour les entiers de 6 , 7 et 8.puis pour 9,10 et 11.

b) A partir du résultat trouvé au 1) , prouver que Fabrice a raison dans tous les cas.

[invitefc60305c]

On a deux possibilités :
Soit a impair, b pair, c impair -> cas 1
Soit a pair, b impair, c pair -> cas 2

Cas 1 :

Or


Ce qui prouve ce que Fabrice dit.

Cas 2

Je te laisse faire, c'est pareil.

[invité576543]

Il y a bien plus simple.

Avec au passage une remarque générale: un simple "esprit de symétrie" devrait toujours amener à prendre (n-1, n, n+1) plutôt que (n, n+1, n+2). Je suis surpris de voir que ce "réflexe" n'a pas été à l'oeuvre à divers points de ce fil!

(n-1)²+n²+(n+1)² + 1 = 3n² + 3

Y'a-t-il vraiment besoin d'aller plus loin?

Cordialement,

[invitefc60305c]

Tout le monde n'est pas aussi intelligent que toi mmy

Ta solution est beaucoup plus simple.
Je me sens bête d'un coup

[invité576543]

Appliquons le "principe" au problème du premier message

 Cliquez pour afficher

(n-2)² + n² + (n+2)² = 3n² + 8

Il faut un multiple de 1111, donc de 11; on reconnaît 8 = -3 modulo 11

soit 3(n²-1) = 0 [11], soit n²=1 [11] les seules racines de 1 sont 1 et -1, n=22k + e (22, parce que n doit être impair), avec e=1 ou -1

3(22k+e)² + 8 = 11 132 k² +11 12 ek + 11 = 11(132 k² + 12 ek +1)

132k² + 12 ek + 1 = 101 a

la valeur max est 909, donc 132k² au maximum de l'ordre de 909, soit k<2.6

Suffit d'essayer 1 et 2!

k=1; 132 + 12e +1 = 133 +/-12, pas de solution

k=2: 132 4 + 24 e + 1 = 529 +/- 24, 505 marche, d'où n=22 2 -1 = 43

La solution est (41, 43, 45)

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Autre approche, plus simple

 Cliquez pour afficher

On cherche donc 3n²+8 = 1111a, et n impair.

a est donc impair, a=1 [2]

En prenant l'équation modulo 3, on a: 2 = a [3]

D'où a=5 [6], donc a=5

n²= (5555-8)/3, donc n=43

Cordialement,

[invite5e51cc3a]

bonjour

j'ai encore une autre question dont je n'ai pas trouver reponse . vous pouvez m'aidez s'il vous plait ???!!

démontrer l'égalité de Lagrange.

Pour tous nombre a,b,c,da+b^{)=(ac+bd)+(ad-bc)}

[invite5e51cc3a]

escusez moi , je me suis tromper dans l'enoncer précédent car je ne sais pas commen écire un nombr au carré donc par exemple c^2 veut dire c au carré voila.

bonjour

j'ai encore une autre question dont je n'ai pas trouver reponse . vous pouvez m'aidez s'il vous plait ???!!

démontrer l'égalité de Lagrange.

pour tous nombres a,b,c,d,a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(a d+bc)^2

[invite4e9186a9]

Déterminer tous les couples (a,b,c) de N^3 tels que a, b et c soient trois entiers impairs consécutifs et que a²+b²+c² soit un nombre de quatre chiffres identiques.

Je vous montre ma démarche c'est un epu celle qui a été abordée généralement mais vers la fin je me retrouve dans une distinction de cas qui em paraît assez lourde pourriez vous m'indiquer une autre solution?
Akors voilà :

je pose:
a=2k+1
b=2k+3
c=2k+5
avec k appartenant à Z,
on a alors: a²+b²+c²= 12k²+36k+35 et ce tel que a²+b²+c²=1111f
avec f appartenant à {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
or 12k²+36k+35 est imapir on exclut donc les cas tel que f=2,4,6,8
Et ici je me heurte à une distinction de cas que me proposez vous?

Merci

[invite35452583]

Je vous montre ma démarche c'est un epu celle qui a été abordée généralement mais vers la fin je me retrouve dans une distinction de cas qui em paraît assez lourde pourriez vous m'indiquer une autre solution?
Akors voilà :

Merci

Travailler modulo 3, cela élimine naturellement les k² et les k, quelque soit la façon de poser ces trois impairs consécutifs. La méthode rappelé par mmy, utilisant la symétrie, étant plus élégante. Mais l'essentiel est de ne pas se contenter d'éliminer des cas en travaillant modulo 2 (pair, impair) mais aussi modulo 3, les deux combinés ne laissent plus un seul cas. Le calcul est alors beaucoup plus aisé si on a pris une forme symétrique au départ.