[Maths] [TS] Arithmétique : ça prends 5 min !

[invitefc60305c]

Bonsoir !
Voilà un exo que j'ai eu cet après-midi pendant mon oral de maths.

Résoudre dans N*

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[chr57]

salut,

tu passes des oraux en maths ?

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PPCM(x;12)=60

x et 12 divisent 60

60=2².3.5

Un diviseur de 60 s'écrit

a compris entre 1 et 2.
b compris entre 0 et 1.
c compris entre 0 et 1.

c=1 obligatoirement sinon PPCM=60

et on obtient les valeurs de x: 5;10;15;20;30;60.

[invitefc60305c]

C'est tout bon !

Etant donné que je suis dans un lycée privé, je reçois un gros entraînement en vu du bac (et oui, il ne faut surtout pas entâcher leur sacro-saint taux de réussite).

[chr57]

ok, je vois.

bon courage pour la suite !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a8c0277]

J'ai pas très bien compris pourquoi c doit forcément valoir un...

[invitefc60305c]

On a 60 = 2² * 3 * 5
Or 12 = 2² * 3
Le 5 ne peut alors qu'être un facteur premier de x, d'exposant un (car il y a dans la décomposition en facteurs premiers de 60)

[Gwyddon]

J'ai pas très bien compris pourquoi c doit forcément valoir un...

Effectivement c doit valoir obligatoirement 1, mais par contre l'argumentaire de chr57 est assez flou : que veux dire PPCM=60 ? PPCM de quoi ?

Mieux vaut argumenter ainsi :

si c=0 alors x ne peut être que 1,2,4,3,12. Mais aucune de ces valeurs de x n'assure PPCM(x,12)=60, donc nécessairement c=1.

EDIT : croisement avec anonymous, qui fournit une preuve légèrement différente

[chr57]

Effectivement c doit valoir obligatoirement 1, mais par contre l'argumentaire de chr57 est assez flou : que veux dire PPCM=60 ? PPCM de quoi ?

Toutes mes excuses !

Oui, une faute d'inattention quand j'ai tapé (assez rapidement et négligemment, je l'avoue) l'exercice :

c=1 forcément sinon PPCM(x;12)=12

[Gwyddon]

Ah oui là on est d'accord alors

[invite3a8c0277]

J'étais un peu fatigué hier mais effectivement je suis ok.
Le PPCM=60 de la démonstration de chr57 m'avais un peu tordu l'esprit.
Merci de vos réponses

[invite4e9186a9]

a compris entre 1 et 2.
b compris entre 0 et 1.
c compris entre 0 et 1.

et on obtient les valeurs de x: 5;10;15;20;30;60.

Pourquoi ?
puisuqu'on peut avoir 5 comme diviseur et

ainsi

[chr57]

Pourquoi ?
puisuqu'on peut avoir 5 comme diviseur et

ainsi

oui, tu as raison, une erreur d'inattention supplémentaire de ma part.

faut décidément que j'apprenne à vouloir aller moins vite

[invite35452583]

Autre méthode :
ppcm(x;12)=60
Ceci revient à dire 12x=60pgcd(x;12)=5.12.pgcd(x,1 2)
x=5.pgcd(x,12)
Toutes les solutions sont donc de la forme x=5y. On réinjecte, on obtient
5y=5pgcd(5y,12) ou encore y=pgcd(5y,12)
Or 5 et 12 sont premiers entre eux donc pgcd (5y,12)=pgcd(y,12).
On a donc pgcd(y,12)=y et y est un diviseur de 12.
Finalement x=5.diviseur de 12.

[chr57]

...et on retrouve les 6 valeurs de x possibles.

Bien joué ! j'y aurais pas pensé.