[Maths] [TS vers Prépa/L1]densité de R\Q

[Romain-des-Bois]

Cet exercice fait partie des classiques de début de Sup (en MPSI en tout cas) :
Je rappelle quelques éléments tout d'abord :

R est Archimédien. Ca veut simplement dire que pour tout réel x, il existe un entier n tel que x<n

Cet axiome permet de déduire la densité de Q dans R. Q est dense dans R veut simplement dire qu'entre deux réels, on peut trouver un rationnel (au moins !).

Sachant cela (et sachant que sqrt2 est irrationnel par exemple), on va prouver la densité de R\Q (ce sont les irrationnels).

Question : prouvez qu'entre deux réels x et y avec x<y, il existe a irrationnel tel que x<a<y

Aide 1

 Cliquez pour afficher

Considérer b, rationnel, tel que x<b<y

Aide 2

 Cliquez pour afficher

Partant de ce rationnel et d'un irrationnel connu (sqrt2), construire un irrationnel vérifiant la condition (à l'aide de l'axiome d'Archimède).

Bon courage !


Romain



Note : on a parlé de cet exercice ici !
-----

[invitec053041c]

Note : on a parlé de cet exercice ici !

Oui, donc je me tais .