[Physique] [Prépa/Licence] Équation de la chaînette

[Romain-des-Bois]

Calcul de l'équation cartésienne de la chaînette
- Résolution newtonienne -

J'ai eu l'idée de ce problème en observant des fils électriques sur le bord d'une route. Il parait que c'est un exercice classique de prépa Je ne l'avais jamais vu, mais je me suis penché sur le problème et j'ai fini par trouver la solution
Finalement, j'en ai fait un petit exercice pour vous faire plaisir

Je vous propose une version dépouillée, et une version détaillée (à ne voir que quand on est bloqué bien sûr )

Amusez vous bien !


Version dépouillée :

1) Considérer un élément de la chaînette. Appliquer le principe fondamental de la statique. En déduire deux relations (en projetant).

2) Déduire de ces relations une expression de .

3) Déterminer alors et tels que : . Exprimer aussi en fonction de .

4) Calculer puis conclure.



Version détaillée du problème :

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Préliminaires :
Vérifier que

1) Considérer un élément infinitésimal de la chaînette, de longueur . Déterminer toutes les forces qui s'appliquent sur cet élément. Ecrire le principe fondamental de la statique pour obtenir une relation vectorielle faisant intervenir , (la masse linéique de la chaînette), et .

2) Projeter cette relation sur les axes et . Intégrer les deux relations obtenues (on appellera A et B les constantes d'intégration). En déduire une expression de , puis de et enfin de.

3) En remarquant que et que , exprimer et en fonction de . On écrira notamment .

4) Calculer (L'expression demandée est excessivement simple, mais pour y parvenir, plusieurs lignes de calculs sont nécessaires. Restez méthodique !)

5) Remarquer une relation entre et . Conclure.

Romain
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[invite4b9cdbca]

ça reste en théorie un exo de spé , il est assez hardcore en sup, où on ne fait pas tellement de trigo hyperbolique et de calculs de différentielles...
Donc révisions de sup et entrée en spé (en fin de spé cela se fait sans trop de soucis, je crois)


deux trois indic, je pense utiles si vous êtes bloqués :

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A préciser, je pense, que dans la chaînette la tension est uniforme, et la chaine complètement souple (i.e. tension partout tangente à la corde).
De plus, à voir que le ds correspond à un élément infinitésimal d'abscisse curviligne.
Eliminer le terme de tension en utilisant deux DL. Relation à démontrer :

[.:Spip:.]

salut, tu m'as piqué mon exo, j'allais mettre ca la semaine prochaine..

mon prof de math de TS nous avait parlé le la fonction chainette,et en sup, (n'y arrivant pas) j'ai demandé a mon prof de physique comment on le démontrait, et il m'a filé au cours suivant la démo sur papier ^^

En sup, c'est chaud, en spé c'est réalisable, bon, j'ai regratté les equations sur papier, alors comme tu m'as piqué mon exo (dont je n'avais plus la correction, je n'ai plus retrouvé ce papier depuis un moment) je mets un bon début de résolution (en gros que la partie physique du problème, les maths de la fin, je laisse ma place )

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bon, déja moi j'apelle l'abscisse curviligne l et non s, question d'habitude.

je mets un repere x,y avec x a l'horizontal et y en vertical ascendante.

La RFD me dit :

selon ox
et
selon oy

d'où :
ie (1)

et puis

ie

j'injecte (1)
ce qui donne

je nomme K = A/(µg)

les relations de trigo de base donnent :
tan a = dx/dy
sin a = dy/dl
cos a = dx/dl

d'ou

ici on utilise la fait que

et l'on trouve x en fonction de ln de tangente bidule

on calcule de la meme manière y

Ensuite, c'est encore plus du calcul, on veut du ch , alors on calcul des exponentielles, on sort une ou deux formules de trigo, et là on aboutit au résultat.

si vous ne me croyez pas, vous n'avez qu'a le démontrer

François

[invitec053041c]

Dans le même registre, je propose cet exercice (de tête):

Chaînette glissant d'une table:

Une chaînette (masse m, longueur l ) homogène ,inextensible,tendue est disposée comme sur le dessin sur une table : les 3/4 de la chaînette sont encore sur la table. A t=0 on lâche le dispositif sans vitesse initiale, et les frottements sont négligés.

On appelle A l'extrémité de la chaînette encore sur la table.
1/ Donner l'équation du mouvement de A
2/ A quel instant A quittera-t-il la table ?

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Je sais qu'on m'avait conseillé de considérer le centre de gravité de la chaîne, et mon prof m'avait dit de considérer comme si la chaîne n'était pas déformée, qu'elle suivait un peu une ligne sur laquelle on avait marqué le point "coin de table".
Bref, on s'attend à trouver un ch dans l'histoire, mais à vous de jouer...

[A voir en vidéo sur Futura]