[Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

[kNz]

Salut,

Encore un exo de colle, pas le mien mais il est sympa quand même

Enoncé :

Chercher tous les polygones réguliers avec lesquels on peut paver le plan.

Cette fois ci je peux donner des pistes

Ciao
-----

[inviteec581d0f]

Bonsoir,

Bon je tente même si j'avoue que mon niveau est encore loiiiiinn de la MPSI

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Carré, Triangle équilatéral, Pentagone Octogone et Hexagone

[kNz]

Raté

C'est faisable avec un bagage de terminale, voire première je pense.

Indice : il y en a 3.

[inviteec581d0f]

Euh,

^^

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quadrilatère, triangle et pentagone? c'est çà ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Non toujours pas
Essaie de voir ce qu'on doit avoir pour pouvoir paver le plan, intéresse toi aux angles par exemple.

[invite3a8c0277]

Humm...Je dirais:

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Triangle équilatéral, le carré ( ou le losange, je pense qu'il et régulier aussi) et l'hexagone?

Mais après, va savoir pourquoi... J'ai une petite idée mais ca me semble un peu fastidieux à démontrer...

[kNz]

Le losange n'a pas ses 4 côtés de même longueur donc il n'est pas régulier, mais sinon ce sont bien ceux là

Bon maintenant j'aimerais bien une petite démonstration

[inviteec581d0f]

j'avais di

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carré, triangle équilatéral et hexagone XD

mais pour démontrer çà je ne vois vraiment pas comment faire

[kNz]

Toi tu avais dit pentagone, moi je voulais hexagone

Pour la démonstration :

Imagine que tu colles deux polygones réguliers, comment doit être l'angle qui se situe entre les 2 polygones pour que tu puisses en mettre un autre dedans ?
a_
/a\_
\_/a\
a \_/

C'est super bien expliqué non ?

[inviteec581d0f]

L'angle doit être égal à l'angle :

._
/a\_
\_/a\
a \_/

[invitec053041c]

Si a est l'angle d'ouverture entre deux côtés du polygôme régulier, alors si on veut en caser au mois un entre deux polygônes, il faut 2Pi-2a>=a, d'où a=<2Pi/3

Ce qui correspond au triangle, carré et pentagone (au delà,on dépasse un angle de 2Pi/3).

[invitec053041c]

Je reprends:

a=< 2Pi/3 correspond à : triangle isocèle, carré,pentagone,hexagone.

Cela est une CN, on vérifie que c'est suffusant (car évident) pour le carré, le triangle isocèle, l'hexagone.
Je regarde désormais ce que le pentagone dit.

[invitec053041c]

Bon, le pentagone ne convient pas. Un dessin est plus parlant qu'un pavé (c'est le cas de le dire ).
En effet, on peut caser un pentagone entre deux pentagones (heureseument, c'est une CN), mais en le plaçant, l'angle restant est 2Pi-3(3Pi/5)=Pi/5
(en utilisant le fait que l'angle d'ouverture du pentagone est 3Pi/5)., donc insuffisant.
Donc les seules possibilités sont les 3 déjà cités.

[kNz]

Voilà c'est ça.
Je n'avais pas raisonner en termes d'inégalité pour ma part.

Pour un polygone régulier de n côtés, on a :

Somme des angles : ; Angle d'un sommet :

En "collant" deux polygones réguliers, on doit avoir :

ie ie n-2 divise 4.

On obtient n-2 = 4, 2 ou 1 puis n = 6, 4 ou 3.

La réciproque se fait facilement.