[Maths] [L2] Calcul de zeta2

[invitec314d025]

Bonjour, voici un exercice proposé par 09Jul85, permettant un calcul de

1. Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que :

2. Expliciter les racines de et calculer leur somme.

3. Démontrer que:

4. En déduire la valeur de :

[inviteb9a01aa7]

1) je crois que le poly en question c'est j ai pas fait le calcul mais normalement ca doit marcher, mais de la a prouver qu il est unique...ca m'interesserait de savoir comment faire !

2). ses racines seront les ou les sont solutions ds de l equation
or ces solutions sont exactement les or la fonction etant bijective sur (enfin j espere, j ai pas verifie ) on obtient de ce fait racines, par contre pour la somme je sens qu il faut utiliser les fonctions elementaires symetriques, mais d'une je ne m'en souviens plus et de deux on a pas les coefs du polynome donc n fait ca risque de pas marcher

3)on a

[inviteb9a01aa7]

grrrrrr me suis encore trompe de bouton
bon ds le premier message il faut comprendre

puis pour 3) d ou l on tire
puis car on est ds
par contre la 2eme partie je vois pas trop d ou la sortir

4)il faut encadrer la somme avec les questions precedentes je pense pas qu il y ait bcp de difficultes

[invitec314d025]

Pour la 1), tu peux t'intéresser à la partie imaginaire de :

en la calculant de 2 manières différentes, tu devrais retomber sur tes pattes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9a01aa7]

le hic c'est que je ne vois meme pas comment la calculer d'une seule maniere car a part dire que c'est egal au second membre de l egalite definissant le polynome, je vois pas trop ce qu on peut en faire

[invitec314d025]

Tu connais la formule du binôme de Newton pour calculer (a+b)ⁿ ?

[inviteb9a01aa7]

bien sur pourquoi n'y ai-je pas pense avant

[inviteb9a01aa7]

bon je vais pas detailler tous les calculs parce que c'est chaud a ecrire avec latex, donc je dis ce que j'ai fait: j ai separe la somme en 2 (les entiers pairs et les impairs)
et finalement j trouve:


bon mais j ai surement du faire une erreur parce que je vois pas trop comment ca a se simplifier cette histoire

en tout cas j aurais appris des nouvelles commandes latex d'ailleurs juste comme ca ca serait bien que le latex ait la meme gueule ici que sur les-mathemaituqes.net parce qu'il est bcp plus joli la-bas

[invitec314d025]

Houla, c'est bien compliqué. J'ai du mal à voir comment tu as obtenu ça.



Tu prends la partie imaginaire, tu simplifies un peu.

[inviteb9a01aa7]

lol moi j ai juste developpe l'exponentielle, pas le quotient, je suis un peu fatigue ces temps-ci

bon je vais voir ce que je peux faire mnt

[invitec314d025]

Ca ne change rien. C'est juste un chouya plus simple comme ça parce que les cotan(t) apparaissent immédiatement.

[inviteb9a01aa7]

donc finalement je trouve ca:



et on obtient le poly en remplacant cotan^2 par

c'est ca ?