[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]

martini_bird · 05/05/2005 - 14h44

Bonjour à tous,

le voici, le voilà, le problème sur la formule de Stirling!
Il s'agit d'une estimation asymptotique de la factorielle:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

En d'autres termes, il s'agit de prouver que:

$\lim_{n\rightarrow +\infty} \;\; n!\left(\frac{e}{n}\right)^n \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}=1$

On définit ainsi les suites (u_n), (v_n) et (w_n) pour $n\geq 1$ par:

$u_n=\log(n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right)\log (n)+n$

$v_n=u_n-\frac{1}{12n}$

$w_n=\frac{n! \, e^n}{n^n\sqrt{n}}$

Il faut donc prouver que (w_n) converge et déterminer sa limite.
Nous aurons besoin d'étudier les fonctions suivantes, définies pour $x\in[1, +\infty ]$ ,

$f(x)=1-\left(x+\frac{1}{2}\right)\, \log\left(1+ \frac{1}{x}\right)\;\;\; et \;\;\;\large g(x)=f(x)-\frac{1}{12}\, \left(\frac{1}{x+1}- \frac{1}{x}\right)$

Préliminaires

1- Vérifier que $\log(w_n)=u_n$ .

2- Prouver que:

___ a) $u_{n+1}-u_n=f(n)$

___ b) $v_{n+1}-v_n=g(n)$

Etude de f

3- Démontrer que f est deux fois dérivables sur [1, + $\infty$ ] et que:

$f^'(x)=-\log\left(\frac{1}{x}+1\right) +\frac{2x+1}{2x(x+1)}\; ;\;\;\; f^{''}(x)=-\frac{1}{2x^2(x+1)^2}$

4- Dresser le tableau de variation de f ', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de f '.

5- Etude de la limite de f en $+\infty$

___ a) Démontrer que pour tout $x\geq 1$

___ $\frac{1}{x+1}\leq \log\left(1+\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x}.$

___ b) En déduire un encadrement sur [1, + $\infty$ ] de

___ $\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(1+\frac{1}{x}\right).$

___ c- Justifier que $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)$ existe et calculer cette limite.

6- Dresser le tableau de variation de f et conclure quant à son signe.

Etude de g

7- Démontrer que g est deux fois dérivables sur [1, + $\infty$ ] et que:

$g^'(x)=f^'(x)-\frac{1}{12}\left(\frac{1}{x^2 }-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\; ;\;\;\; g^{''}(x)=\frac{1}{6x^3(x+1)^3 }$

8- Dresser le tableau de variation de g', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g'.

9- Dresser le tableau de variation de g, étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g.

La formule!

10- Etudier la monotonie de (u_n) et (v_n).

11- Démontrer que (u_n) et (v_n) sont adjacentes et en déduire que (u_n) converge vers un nombre réel $l$ .

12- En utilisant la formule de Wallis, prouver que

$\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{(w_n)^2}{w_{2n}}=\sqrt{2 \pi}$

13- Conclure.

Le sujet est un peu long, mais vous devriez vous en sortir.

Bon courage!

______________________________

Pour la petite histoire, cette formule apparaît pour la première fois dans les Miscellanea Analytica de Abraham de Moivre en 1730. James Stirling, qui entretenait une correspondance avec De Moivre, lui a signalé quelques erreurs dans sa table des logarithmes des factorielles. Mais il a surtout amélioré la formule qui porte aujourd'hui son nom, pourtant due à De Moivre...

La formule améliorée de Stirling:

$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1} {288n^2}-\frac{139}{51480n^3}- \frac{571}{2488320n^4}+... \right)$

g_h · 05/05/2005 - 14h57

Je préssens que les neurones vont chauffer...

...mais bon, avant je vais finir la tonne de devoirs que j'ai déjà pour demain !

Et merci pour ce problème !

Coucouyou13 · 05/05/2005 - 15h11

J'ai jamais été doué pour les préliminaires (que ce soit en maths ou....). Je bloque, je trouve seulement pour la 1ere question:

log(n!) - [(n(n+1/2)log(n)) / ((n+1/2)log(n))]

Je suis pas loin mais JE N'Y ARRIVE PAS !!!!!!!!!!!

martini_bird · 05/05/2005 - 15h33

Tatata...

Un petit rappel sur les logarithmes:
log(a.b)=log(a)+log(b)
log(a/b)=log(a)-log(b)
log(a^b)=b.log(a)
log(e)=1

Tu n'as pas besoin de plus.

PS: log désigne bien sûr le logarithme népérien!

martini_bird · 05/05/2005 - 15h43

C'est encore moi,

pour te signaler que j'avais écrit e^-n dans l'expression de w_n, à remplacer par eⁿ.

Désolé, c'est peut-être pour celà que tu bloques...

Coucouyou13 · 05/05/2005 - 16h36

Ca y est, trouvé !

En fait j'avais pas pensé à appliquer log(a/b)=log(a)-log(b) dès le début

.

Mea culpa. Errare humanum est ! Qui perseverare diabolicum

Je m'en souviendrai

A la suite

Coucouyou13 · 05/05/2005 - 16h57

J'ai de gros problemes avec les propriétés des factorielles.. j'ai beau chercher dans mes bouquin je trouve rien

pourtant je sais qu'il en existe des bien pratiques

. Petit récapitulatif svp?

matthias · 05/05/2005 - 17h07

Envoyé par Coucouyou13

J'ai de gros problemes avec les propriétés des factorielles.. j'ai beau chercher dans mes bouquin je trouve rien

pourtant je sais qu'il en existe des bien pratiques

. Petit récapitulatif svp?

à part (n+1)! = (n+1).n!, qui est évident, je pense que tu n'as pas besoin de propriétés particulières.

g_h · 06/05/2005 - 19h02

Bon, je me lance :

Préliminaires :

1)

$ln(w_n) = ln\left(\frac{n! e^{n}}{n^{n} \sqrt{n}}\right) \\ = ln(n!) + n - n \times ln(n) - \frac{1}{2} \times ln(n) \\ = ln(n!) - \left(n+\frac{1}{2}\right) \times ln(n) + n \\ = u_n$

2)
a)

$u_{n+1} - u_n \\ = ln((n+1)!) - \left(n+1+\frac{1}{2}\right) \times ln(n+1) + n + 1 - ln(n!) + \left(n+\frac{1}{2} \right) \times ln(n) - n \\ = ln(n+1) + ln(n!) - ln(n!) + 1 + (ln(n) - ln(n+1)) \left(n+\frac{1}{2} \right) - ln(n+1) \\ = 1 + ln\left(\frac{n}{n+1}\right) \times \left(n+\frac{1}{2}\right) \\ = 1 + ln\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n} }\right) \times \left(n+\frac{1}{2}\right) \\ = 1 - ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \times \left(n+\frac{1}{2}\right) \\ = 1 - ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \times \left(n+\frac{1}{2}\right) \\ = f(n)$

b)

$v_{n+1} - v_n \\ = u_{n+1} - \frac{1}{12(n+1)} - u_n + \frac{1}{12n} \\ = f(n) - \frac{1}{12} \times \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right) \\ = g(n)$

doryphore · 06/05/2005 - 20h27

Pas d'erreur en vue pour ma part!

g_h · 06/05/2005 - 22h59

Alors c'est reparti

Etude de f

$f(x) = 1 - \left(x + \frac{1}{2}\right)\times ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \\ \mathcal{D}f = [1; +\infty[$

3) $x \mapsto 1+\frac{1}{x}$ est dérivable sur $[1; +\infty[$ et l'image de $[1; +\infty[$ par cette fonction est $]1; 2]$ (je détaille pas : la fonction est strictement décroissante, elle est continue car dérivable sur cet intervalle, d'où une bijection entre les 2 ensembles, et pour calculer l'ensemble d'arrivée il suffit de calculer les limites de la fonction au bornes de l'intervalle de départ)

$x \mapsto ln(x)$ est dérivable sur $]1; 2]$

Donc par composée, $x \mapsto ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ est dérivable sur $[1; +\infty[$

Donc puisque f est un produit de fonctions dérivables sur $[1; +\infty[$ , f est dérivable sur $[1; +\infty[$

$f'(x) = (-1) \times ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \left(x + \frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \times \frac{-1}{x^{2}} \\ = -ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{x(2x+1)}{2(x+1)}\times \frac{-1}{x^{2}} \\ = -ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{(2x+1)}{2x(x+1)}$

La fonction f' est définie sur $[1; +\infty[$ (je détaille pas non plus : l'expression à l'intérieur du ln est toujours > 1 donc > 0, et le dénominateur de la fraction ne s'annule pas sur cet intervalle), elle est donc définie partout ou f est dérivable.

Donc :
$f'(x) = -ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{(2x+1)}{2x(x+1)} \\ \mathcal{D}f' = [1; +\infty[$

De même que pour f, f' est une somme de fonctions dérivables sur $[1; +\infty[$ , donc f' est dérivable sur $[1; +\infty[$

On a donc :
$f''(x) = -\left(\frac{-1}{x^{2}} \times \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right) + \frac{4x(x+1) - (2x+1)(4x+2)}{(2x(x+1))^{2}} \\ = \frac{1}{x(x+1)} + \frac{4x^{2}+4x-8x^{2}-4x-4x-2}{4x^{2}(x+1)^{2}} \\ = \frac{1}{x(x+1)} + \frac{-2x^{2}-2x-1}{2x^{2}(x+1)^{2}} \\ = \frac{2x^{2}+2x-2x^{2}-2x-1}{2x^{2}(x+1)^{2}} \\ = \frac{-1}{2x^{2}(x+1)^{2}}$

f'' est donc définie partout ou f' est dérivable.
$f''(x) = \frac{-1}{2x^{2}(x+1)^{2}} \\ \mathcal{D}f'' = [1; +\infty[$

La suite plus tard...

doryphore · 06/05/2005 - 23h06

Tu peux m'expliquer pourquoi tu as limité ainsi ton ensemble de définition?

g_h · 06/05/2005 - 23h11

Heu... parce que c'est dans l'énoncé ?
Pour les dérivées, je ne vais pas m'amuser à étudier les variations de la fonction en dehors de son domaine de définition... non ?

doryphore · 06/05/2005 - 23h14

Ah excuse-moi, je n'avais pas revu l'énoncé et j'avais oublié qu'il n'est plus de la responsabilité de l'élève de terminale de déterminer l'ensemble de définition des fonctions étudiées. Bon, je continue à lire alors...

doryphore · 06/05/2005 - 23h18

Envoyé par g_h

Donc puisque f est un produit de fonctions dérivables sur $[1; +\infty[$ , f est dérivable sur $[1; +\infty[$

Pas tout à fait, mais je pinaille, là !

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