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[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]




  1. #1
    martini_bird

    [Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]

    Bonjour à tous,

    le voici, le voilà, le problème sur la formule de Stirling!
    Il s'agit d'une estimation asymptotique de la factorielle:



    En d'autres termes, il s'agit de prouver que:



    On définit ainsi les suites (un), (vn) et (wn) pour par:







    Il faut donc prouver que (wn) converge et déterminer sa limite.
    Nous aurons besoin d'étudier les fonctions suivantes, définies pour ,



    Préliminaires
    1- Vérifier que .

    2- Prouver que:

    ___ a)

    ___ b)
    Etude de f
    3- Démontrer que f est deux fois dérivables sur [1, +] et que:



    4- Dresser le tableau de variation de f ', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de f '.

    5- Etude de la limite de f en

    ___ a) Démontrer que pour tout

    ___

    ___ b) En déduire un encadrement sur [1, +] de

    ___

    ___ c- Justifier que existe et calculer cette limite.

    6- Dresser le tableau de variation de f et conclure quant à son signe.
    Etude de g
    7- Démontrer que g est deux fois dérivables sur [1, +] et que:



    8- Dresser le tableau de variation de g', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g'.

    9- Dresser le tableau de variation de g, étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g.
    La formule!
    10- Etudier la monotonie de (un) et (vn).

    11- Démontrer que (un) et (vn) sont adjacentes et en déduire que (un) converge vers un nombre réel .

    12- En utilisant la formule de Wallis, prouver que



    13- Conclure.
    Le sujet est un peu long, mais vous devriez vous en sortir.

    Bon courage!

    ______________________________

    Pour la petite histoire, cette formule apparaît pour la première fois dans les Miscellanea Analytica de Abraham de Moivre en 1730. James Stirling, qui entretenait une correspondance avec De Moivre, lui a signalé quelques erreurs dans sa table des logarithmes des factorielles. Mais il a surtout amélioré la formule qui porte aujourd'hui son nom, pourtant due à De Moivre...

    La formule améliorée de Stirling:


    -----

    Dernière modification par martini_bird ; 05/05/2005 à 22h48. Motif: Coquilles...

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  3. #2
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Je préssens que les neurones vont chauffer...

    ...mais bon, avant je vais finir la tonne de devoirs que j'ai déjà pour demain !

    Et merci pour ce problème !

  4. #3
    Coucouyou13

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    J'ai jamais été doué pour les préliminaires (que ce soit en maths ou....). Je bloque, je trouve seulement pour la 1ere question:

    log(n!) - [(n(n+1/2)log(n)) / ((n+1/2)log(n))]

    Je suis pas loin mais JE N'Y ARRIVE PAS !!!!!!!!!!!


  5. #4
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Tatata...

    Un petit rappel sur les logarithmes:
    log(a.b)=log(a)+log(b)
    log(a/b)=log(a)-log(b)
    log(ab)=b.log(a)
    log(e)=1

    Tu n'as pas besoin de plus.

    PS: log désigne bien sûr le logarithme népérien!

  6. #5
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    C'est encore moi,

    pour te signaler que j'avais écrit e-n dans l'expression de wn, à remplacer par en.

    Désolé, c'est peut-être pour celà que tu bloques...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Coucouyou13

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ca y est, trouvé !

    En fait j'avais pas pensé à appliquer log(a/b)=log(a)-log(b) dès le début .

    Mea culpa. Errare humanum est ! Qui perseverare diabolicum

    Je m'en souviendrai

    A la suite

  9. #7
    Coucouyou13

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    J'ai de gros problemes avec les propriétés des factorielles.. j'ai beau chercher dans mes bouquin je trouve rien pourtant je sais qu'il en existe des bien pratiques . Petit récapitulatif svp?

  10. Publicité
  11. #8
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par Coucouyou13
    J'ai de gros problemes avec les propriétés des factorielles.. j'ai beau chercher dans mes bouquin je trouve rien pourtant je sais qu'il en existe des bien pratiques . Petit récapitulatif svp?
    à part (n+1)! = (n+1).n!, qui est évident, je pense que tu n'as pas besoin de propriétés particulières.

  12. #9
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon, je me lance :

    Préliminaires :

    1)




    2)
    a)



    b)


  13. #10
    doryphore

    Thumbs up Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Pas d'erreur en vue pour ma part!
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  14. #11
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Alors c'est reparti

    Etude de f






    3) est dérivable sur et l'image de par cette fonction est (je détaille pas : la fonction est strictement décroissante, elle est continue car dérivable sur cet intervalle, d'où une bijection entre les 2 ensembles, et pour calculer l'ensemble d'arrivée il suffit de calculer les limites de la fonction au bornes de l'intervalle de départ)

    est dérivable sur

    Donc par composée, est dérivable sur

    Donc puisque f est un produit de fonctions dérivables sur , f est dérivable sur



    La fonction f' est définie sur (je détaille pas non plus : l'expression à l'intérieur du ln est toujours > 1 donc > 0, et le dénominateur de la fraction ne s'annule pas sur cet intervalle), elle est donc définie partout ou f est dérivable.

    Donc :


    De même que pour f, f' est une somme de fonctions dérivables sur , donc f' est dérivable sur

    On a donc :


    f'' est donc définie partout ou f' est dérivable.


    La suite plus tard...

  15. #12
    doryphore

    Question Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Tu peux m'expliquer pourquoi tu as limité ainsi ton ensemble de définition?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  16. #13
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Heu... parce que c'est dans l'énoncé ?
    Pour les dérivées, je ne vais pas m'amuser à étudier les variations de la fonction en dehors de son domaine de définition... non ?

  17. #14
    doryphore

    Cool Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ah excuse-moi, je n'avais pas revu l'énoncé et j'avais oublié qu'il n'est plus de la responsabilité de l'élève de terminale de déterminer l'ensemble de définition des fonctions étudiées. Bon, je continue à lire alors...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  18. #15
    doryphore

    Talking Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Donc puisque f est un produit de fonctions dérivables sur , f est dérivable sur
    Pas tout à fait, mais je pinaille, là !
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  19. #16
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    C'est peut-être du pinaillage, mais ça m'intéresse de savoir pourquoi tu dis ça
    Tu pourrais préciser s'il te plaît ?

  20. #17
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Les calculs sont bons (il me semble).
    Par contre il ne me paraît pas absolument nécessaire de démontrer que l'image de [1;+infini[ par x->x+1/x est ]1;2]. C'est bien, mais dire que cette image est inclue dans ]0;+inf[, c'est à dire l'ensemble de définition du logarithme aurait suffi. Bon ça c'est pas grave, je chipote.

    Mais, là où je pense que tu dois t'interroger, c'est sur le fait que tu détermines l'ensemble de définition des dérivées après les avoir calculées. Je te rappelle que si une fonction est dérivable en un point, alors sa dérivée est définie en ce point.

  21. #18
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    C'est peut-être du pinaillage, mais ça m'intéresse de savoir pourquoi tu dis ça
    Tu pourrais préciser s'il te plaît ?
    C'était peut-être parce que le 1 ne fait pas partie du produit ...

  22. #19
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    (réponse au post #17) Je sais... mais c'est un point obscur dans mes cours ça : que dirait mon prof si je mets que la fonction f'' est définie en 0 alors que le dénominateur s'annule en 0... ?
    En cours, j'ai l'impression que l'on élude la question en calculant la limite du taux de variation, et on laisse tomber la dérivée en sous entendant que son expression en fonction de x n'est pas définie en ce réel...

  23. #20
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    C'est peut-être du pinaillage, mais ça m'intéresse de savoir pourquoi tu dis ça
    Tu pourrais préciser s'il te plaît ?

    Eh bien, oui, c'est celà Matthias, la fonction est écrite sous la forme d'une somme, pas d'un produit...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  24. #21
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par doryphore
    Eh bien, oui, c'est celà Matthias, la fonction est écrite sous la forme d'une somme, pas d'un produit...
    Uhuh, c'est vrai, je l'avais oublié celui-là, j'aurais du mettre "produit et somme"
    Merci pour la remarque quand même

  25. #22
    doryphore

    Thumbs up Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Aucune erreur de calcul détectée non plus!
    Dernière modification par doryphore ; 06/05/2005 à 23h40.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  26. #23
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon alors Je prends un peu la relève ^^

    4/

    2x²(x+1)²>0 pour tout x de l'ensemble de définition donc f''(x)<0
    Ainsi f'(x) décroit (strictement) sur cet ensemble.

    On a en plus:

    f'(1) = -ln2 + (3/4)

    avec :



    et



    Ainsi la fonction est strictement décroissante avec sa limite à l'infini égale à 0. On peut donc en défuire que pour tout x de l'ensemble [1 ; +inf], on a

    f'(x) > 0

    Je m'attaque à la suite aussi ^^
    Life is music !

  27. #24
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    c'est mieux avec 1+1/x
    sinon on est d'accord

  28. #25
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Exact j'ai tapé mes expressions un peu vite.

    Sinon, peut-être que j'ai été inattentif, mais je ne vois pas vraiment comment faire pour l'encadrement de ln (1 + 1/x)...

    Un petit indice ?

    Kron
    Life is music !

  29. #26
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Salut,

    donnée comme ça, ce n'est pas une question facile. Mais il y a une méthode qui marche quasiment à tous les coups quand on veut démontrer une inégalité...

    Indice: démontrer chaque inégalité séparément.

    Cordialement.

  30. #27
    stak

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    Exact j'ai tapé mes expressions un peu vite.

    Sinon, peut-être que j'ai été inattentif, mais je ne vois pas vraiment comment faire pour l'encadrement de ln (1 + 1/x)...

    Un petit indice ?

    Kron
    Tu peux par exemple étudier le signe de deux fonctions...
    L'ennemi est bête : il crois que c'est nous l'ennemi alors que c'est lui!
    Pierre Desproges

  31. #28
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    En décomposant chaque inégalité, en calculant la valeur de la différence de chaque membre pour x=1, et en étudiant le signe de la dérivée de la différence, ça a l'air de marcher

    Il y a peut-être plus simple mais je ne vois pas

  32. #29
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    C'est ça: reste à le faire proprement.

    PS: Etant donnée une inégalité à démontrer, cette méthode marche très souvent: plutôt que de passer deux heures à chercher une astuce, autant faire sa petite étude de fonction et dérouler tranquillement.

  33. #30
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    J'essaie ça :

    on sait que pour tout x de [1 ; +inf], on a f'(x) >0

    donc



    d'où



    or, on peut ajouter que



    et

    on en déduit que

    voilà pour une borne, je m'attaque à la seconde...^^
    Life is music !

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