[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]

**invite4793db90** · 05/05/2005, 15h44

Bonjour à tous,

le voici, le voilà, le problème sur la formule de Stirling!
Il s'agit d'une estimation asymptotique de la factorielle:

$\text{[math]}$

En d'autres termes, il s'agit de prouver que:

$\text{[math]}$

On définit ainsi les suites (u_n), (v_n) et (w_n) pour $\text{[math]}$ par:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Il faut donc prouver que (w_n) converge et déterminer sa limite.
Nous aurons besoin d'étudier les fonctions suivantes, définies pour $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

Préliminaires

1- Vérifier que $\text{[math]}$ .

2- Prouver que:

___ a) $\text{[math]}$

___ b) $\text{[math]}$

Etude de f

3- Démontrer que f est deux fois dérivables sur [1, + $\text{[math]}$ ] et que:

$\text{[math]}$

4- Dresser le tableau de variation de f ', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de f '.

5- Etude de la limite de f en $\text{[math]}$

___ a) Démontrer que pour tout $\text{[math]}$

___ $\text{[math]}$

___ b) En déduire un encadrement sur [1, + $\text{[math]}$ ] de

___ $\text{[math]}$

___ c- Justifier que $\text{[math]}$ existe et calculer cette limite.

6- Dresser le tableau de variation de f et conclure quant à son signe.

Etude de g

7- Démontrer que g est deux fois dérivables sur [1, + $\text{[math]}$ ] et que:

$\text{[math]}$

8- Dresser le tableau de variation de g', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g'.

9- Dresser le tableau de variation de g, étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g.

La formule!

10- Etudier la monotonie de (u_n) et (v_n).

11- Démontrer que (u_n) et (v_n) sont adjacentes et en déduire que (u_n) converge vers un nombre réel $\text{[math]}$ .

12- En utilisant la formule de Wallis, prouver que

$\text{[math]}$

13- Conclure.

Le sujet est un peu long, mais vous devriez vous en sortir.

Bon courage!

______________________________

Pour la petite histoire, cette formule apparaît pour la première fois dans les Miscellanea Analytica de Abraham de Moivre en 1730. James Stirling, qui entretenait une correspondance avec De Moivre, lui a signalé quelques erreurs dans sa table des logarithmes des factorielles. Mais il a surtout amélioré la formule qui porte aujourd'hui son nom, pourtant due à De Moivre...

La formule améliorée de Stirling:

$\text{[math]}$

invite97a92052 · 05/05/2005, 15h57

Je préssens que les neurones vont chauffer...

...mais bon, avant je vais finir la tonne de devoirs que j'ai déjà pour demain !

Et merci pour ce problème !

invite6cbab356 · 05/05/2005, 16h11

J'ai jamais été doué pour les préliminaires (que ce soit en maths ou....). Je bloque, je trouve seulement pour la 1ere question:

log(n!) - [(n(n+1/2)log(n)) / ((n+1/2)log(n))]

Je suis pas loin mais JE N'Y ARRIVE PAS !!!!!!!!!!!

**invite4793db90** · 05/05/2005, 16h33

Tatata...

Un petit rappel sur les logarithmes:
log(a.b)=log(a)+log(b)
log(a/b)=log(a)-log(b)
log(a^b)=b.log(a)
log(e)=1

Tu n'as pas besoin de plus.

PS: log désigne bien sûr le logarithme népérien!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite4793db90** · 05/05/2005, 16h43

C'est encore moi,

pour te signaler que j'avais écrit e^-n dans l'expression de w_n, à remplacer par eⁿ.

Désolé, c'est peut-être pour celà que tu bloques...

invite6cbab356 · 05/05/2005, 17h36

Ca y est, trouvé !

En fait j'avais pas pensé à appliquer log(a/b)=log(a)-log(b) dès le début

.

Mea culpa. Errare humanum est ! Qui perseverare diabolicum

Je m'en souviendrai

A la suite

invite6cbab356 · 05/05/2005, 17h57

J'ai de gros problemes avec les propriétés des factorielles.. j'ai beau chercher dans mes bouquin je trouve rien

pourtant je sais qu'il en existe des bien pratiques

. Petit récapitulatif svp?

invitec314d025 · 05/05/2005, 18h07

Envoyé par Coucouyou13

J'ai de gros problemes avec les propriétés des factorielles.. j'ai beau chercher dans mes bouquin je trouve rien

pourtant je sais qu'il en existe des bien pratiques

. Petit récapitulatif svp?

à part (n+1)! = (n+1).n!, qui est évident, je pense que tu n'as pas besoin de propriétés particulières.

invite97a92052 · 06/05/2005, 20h02

Bon, je me lance :

Préliminaires :

1)

$\text{[math]}$

2)
a)

$\text{[math]}$

b)

$\text{[math]}$

invite3bc71fae · 06/05/2005, 21h27

Pas d'erreur en vue pour ma part!

invite97a92052 · 06/05/2005, 23h59

Alors c'est reparti

Etude de f

$\text{[math]}$

3) $\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$ et l'image de $\text{[math]}$ par cette fonction est $\text{[math]}$ (je détaille pas : la fonction est strictement décroissante, elle est continue car dérivable sur cet intervalle, d'où une bijection entre les 2 ensembles, et pour calculer l'ensemble d'arrivée il suffit de calculer les limites de la fonction au bornes de l'intervalle de départ)

$\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$

Donc par composée, $\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$

Donc puisque f est un produit de fonctions dérivables sur $\text{[math]}$ , f est dérivable sur $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

La fonction f' est définie sur $\text{[math]}$ (je détaille pas non plus : l'expression à l'intérieur du ln est toujours > 1 donc > 0, et le dénominateur de la fraction ne s'annule pas sur cet intervalle), elle est donc définie partout ou f est dérivable.

Donc :
$\text{[math]}$

De même que pour f, f' est une somme de fonctions dérivables sur $\text{[math]}$ , donc f' est dérivable sur $\text{[math]}$

On a donc :
$\text{[math]}$

f'' est donc définie partout ou f' est dérivable.
$\text{[math]}$

La suite plus tard...

invite3bc71fae · 07/05/2005, 00h06

Tu peux m'expliquer pourquoi tu as limité ainsi ton ensemble de définition?

invite97a92052 · 07/05/2005, 00h11

Heu... parce que c'est dans l'énoncé ?
Pour les dérivées, je ne vais pas m'amuser à étudier les variations de la fonction en dehors de son domaine de définition... non ?

invite3bc71fae · 07/05/2005, 00h14

Ah excuse-moi, je n'avais pas revu l'énoncé et j'avais oublié qu'il n'est plus de la responsabilité de l'élève de terminale de déterminer l'ensemble de définition des fonctions étudiées. Bon, je continue à lire alors...

invite3bc71fae · 07/05/2005, 00h18

Envoyé par g_h

Donc puisque f est un produit de fonctions dérivables sur $\text{[math]}$ , f est dérivable sur $\text{[math]}$

Pas tout à fait, mais je pinaille, là !

invite97a92052 · 07/05/2005, 00h21

C'est peut-être du pinaillage, mais ça m'intéresse de savoir pourquoi tu dis ça

Tu pourrais préciser s'il te plaît ?

invitec314d025 · 07/05/2005, 00h25

Les calculs sont bons (il me semble).
Par contre il ne me paraît pas absolument nécessaire de démontrer que l'image de [1;+infini[ par x->x+1/x est ]1;2]. C'est bien, mais dire que cette image est inclue dans ]0;+inf[, c'est à dire l'ensemble de définition du logarithme aurait suffi. Bon ça c'est pas grave, je chipote.

Mais, là où je pense que tu dois t'interroger, c'est sur le fait que tu détermines l'ensemble de définition des dérivées après les avoir calculées. Je te rappelle que si une fonction est dérivable en un point, alors sa dérivée est définie en ce point.

invitec314d025 · 07/05/2005, 00h29

Envoyé par g_h

C'est peut-être du pinaillage, mais ça m'intéresse de savoir pourquoi tu dis ça

Tu pourrais préciser s'il te plaît ?

C'était peut-être parce que le 1 ne fait pas partie du produit ...

invite97a92052 · 07/05/2005, 00h30

(réponse au post #17) Je sais... mais c'est un point obscur dans mes cours ça : que dirait mon prof si je mets que la fonction f'' est définie en 0 alors que le dénominateur s'annule en 0... ?
En cours, j'ai l'impression que l'on élude la question en calculant la limite du taux de variation, et on laisse tomber la dérivée en sous entendant que son expression en fonction de x n'est pas définie en ce réel...

invite3bc71fae · 07/05/2005, 00h32

Envoyé par g_h

C'est peut-être du pinaillage, mais ça m'intéresse de savoir pourquoi tu dis ça

Tu pourrais préciser s'il te plaît ?

Eh bien, oui, c'est celà Matthias, la fonction est écrite sous la forme d'une somme, pas d'un produit...

invite97a92052 · 07/05/2005, 00h35

Envoyé par doryphore

Eh bien, oui, c'est celà Matthias, la fonction est écrite sous la forme d'une somme, pas d'un produit...

Uhuh, c'est vrai, je l'avais oublié celui-là, j'aurais du mettre "produit et somme"

Merci pour la remarque quand même

invite3bc71fae · 07/05/2005, 00h37

Aucune erreur de calcul détectée non plus!

invite4b9cdbca · 07/05/2005, 14h23

Bon alors Je prends un peu la relève ^^

4/

2x²(x+1)²>0 pour tout x de l'ensemble de définition donc f''(x)<0
Ainsi f'(x) décroit (strictement) sur cet ensemble.

On a en plus:

f'(1) = -ln2 + (3/4)

avec :

$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$

Ainsi la fonction est strictement décroissante avec sa limite à l'infini égale à 0. On peut donc en défuire que pour tout x de l'ensemble [1 ; +inf], on a

f'(x) > 0

Je m'attaque à la suite aussi ^^

invitec314d025 · 07/05/2005, 16h40

Envoyé par kron

$\text{[math]}$

c'est mieux avec 1+1/x
sinon on est d'accord

invite4b9cdbca · 07/05/2005, 18h16

Exact j'ai tapé mes expressions un peu vite.

Sinon, peut-être que j'ai été inattentif, mais je ne vois pas vraiment comment faire pour l'encadrement de ln (1 + 1/x)...

Un petit indice ?

Kron

**invite4793db90** · 07/05/2005, 18h28

Salut,

donnée comme ça, ce n'est pas une question facile. Mais il y a une méthode qui marche quasiment à tous les coups quand on veut démontrer une inégalité...

Indice: démontrer chaque inégalité séparément.

Cordialement.

invite7961483e · 07/05/2005, 18h40

Envoyé par kron

Exact j'ai tapé mes expressions un peu vite.

Sinon, peut-être que j'ai été inattentif, mais je ne vois pas vraiment comment faire pour l'encadrement de ln (1 + 1/x)...

Un petit indice ?

Kron

Tu peux par exemple étudier le signe de deux fonctions...

invite97a92052 · 07/05/2005, 18h42

En décomposant chaque inégalité, en calculant la valeur de la différence de chaque membre pour x=1, et en étudiant le signe de la dérivée de la différence, ça a l'air de marcher

Il y a peut-être plus simple mais je ne vois pas

**invite4793db90** · 07/05/2005, 18h51

C'est ça: reste à le faire proprement.

PS: Etant donnée une inégalité à démontrer, cette méthode marche très souvent: plutôt que de passer deux heures à chercher une astuce, autant faire sa petite étude de fonction et dérouler tranquillement.

invite4b9cdbca · 07/05/2005, 18h53

J'essaie ça :

on sait que pour tout x de [1 ; +inf], on a f'(x) >0

donc

$\text{[math]}$

d'où

$\text{[math]}$

or, on peut ajouter que

$\text{[math]}$

et $\text{[math]}$

on en déduit que $\text{[math]}$

voilà pour une borne, je m'attaque à la seconde...^^

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