[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]

[invite97a92052]

Ooops, désolé, merci matthias !
J'ai des logarithmes plein l'esprit, j'ai pas fait attention...

Excuse moi
-----

[invite4b9cdbca]

lol

bon la suite

On a

or, sur notre intervalle, f(x) < 0 donc la suite (Un) est strictement décroissante

De même,

or, sur notre intervalle g(x) > 0 donc la suite (Vn) est strictement croissante.

or,

et

d'ou

Les suites (Un) et (Vn) sont donc adjacentes.

[invite97a92052]

or,

et

d'ou

Les suites (Un) et (Vn) sont donc adjacentes.

Faux !!
La différence f-g ne prouve rien

[invitec314d025]

lOn a

or, sur notre intervalle, f(x) < 0 donc la suite (Un) est strictement décroissante

De même,

or, sur notre intervalle g(x) > 0 donc la suite (Vn) est strictement croissante.

OK, pas de problème.

or,

et

d'ou

Les suites (Un) et (Vn) sont donc adjacentes.

Pourquoi ? Quelle est la définition de suites adjacentes ?
[EDIT: grillé par g_h ]

[invite4b9cdbca]

Faux !!
La différence f-g ne prouve rien

ah ?! zut... faut aussi que je revois mon cours sur les suites adjacentes alors... (et sur les suites tout court, carrément...)

Edit : d'après mes souvenirs (faux apparemment) deux suites sont adjacentes si et seulement si : l'une est croissante et l'auter décroissante, et lim Un-Vn = 0... mais bon je dois me tromper...

Edit 2 : ou alors doivent ils converger vers la même limite ?

Edit 3 : oups d'accord je me suis trompé mea culpa...

[invitec314d025]

ah ?! zut... faut aussi que je revois mon cours sur les suites adjacentes alors... (et sur les suites tout court, carrément...)

Edit : d'après mes souvenirs (faux apparemment) deux suites sont adjacentes si et seulement si : l'une est croissante et l'auter décroissante, et lim Un-Vn = 0... mais bon je dois me tromper...

Non, c'est bien ça.
Mais ce n'est pas ce que tu as démontré.

[invite4b9cdbca]

on a de plus Un - Vn = 1/(12n)

or, lim 1/(12n) = 0

donc lim Un-Vn = 0

Avec ce qui a été démontré précédemmnt, on peut en conclure que les deux suites sont adjacentes.

PS : quelle bourde j'ai faite avec f et g !! ^^

[invite4b9cdbca]

Par la suite, on peut ajouter que (Un) et (Vn) étant adjacentes avec (Un) décroissante, on peut en déduire que

or, V(0) est un réel, donc (Un) est minorée. On peut en déduire que (Un) converge. On peut ainsi poser
lim Un = l, avec l réel.

[invitec314d025]

Par la suite, on peut ajouter que (Un) et (Vn) étant adjacentes avec (Un) décroissante, on peut en déduire que

or, V(0) est un réel, donc (Un) est minorée. On peut en déduire que (Un) converge. On peut ainsi poser
lim Un = l, avec l réel.

Vous n'avez pas un théorème qui assure directement la convergence des suiets adjacentes ?

[invite4b9cdbca]

euh... C'est à dire ? Je l'ai peut-être vu et oublié, mais d'autant que je me souvienne, j'ai toujours procédé comme ça... enfin je crois...

[invite4793db90]

euh... C'est à dire ? Je l'ai peut-être vu et oublié, mais d'autant que je me souvienne, j'ai toujours procédé comme ça... enfin je crois...

Il n'est pas difficile de montrer que si Un et Vn sont adjacentes, ces suites convergent et que leurs limites sont égales (exercice).

[invite4b9cdbca]

pourrais tu donner les grandes lignes d'une telle démo, martini_bird ?
Merci d'avance

Sinon je vais me coucher, on repart demain avec g_h (je crois qu'il est parti [edit : ah non erreur ^^]) pour la suite (et fin) C'est que ça fatigue vachement de faire des maths intensives !

Bonne soirée
Cordialement

Kron

[invite97a92052]

Non, on n'a pas de théorême disant "2 suites adjacentes convergent"
Mais bon, c'est l'affaire d'une phrase supplémentaire sur la copie, c'est pas bien méchant

EDIT : je suis toujours là, mais jme repose... On reprendra plus tard

[invite4793db90]

Puisque tout le monde fait dodo, j'en profite pour vous proposer une démonstration alternative pour la question 5-a):

___ a) Démontrer que pour tout

___

Soit : on a

et ainsi que



Intégrons chaque membre de 0 à y, (avec pour les besoins de l'énoncé):



et après calcul



Posons alors y=1/x, de sorte que : on obtient



qui donne l'inégalité escomptée.

Voili, je vais de ce pas vous imiter et

Cordialement.

[invite4b9cdbca]

on a

d'où

or, d'après la formule de Wallis :



d'où on en déduit que :



et là je suis bloqué ^^... Mais ai-je fait une erreur dans mes simplifications ?

[invite4793db90]

Salut,

on a

d'où

Non, il y a eu plantage.

[invite4b9cdbca]

euh... on a bien :



non ?

[invite4b9cdbca]

Ayé c'est bon j'ai compris...

On a pour tout n>0 :

et

d'où :

donc

or, on a démontré précédemment la formule de Wallis telle que :



on en déduit ainsi que :



d'où :

CQFD... ouf jepense tenir le bon bout, là... reste la dernière.. conclure...

[invite4b9cdbca]

Qu'est ce qu'il faut conclure ?

[invitec314d025]

Aurais-tu oublié le titre du fil ?

[invite4b9cdbca]

Aurais-tu oublié le titre du fil ?

Non non, mais on va dire que je n'arrive pas à trouver comment faire...

[invitec314d025]

Vous avez fait beaucoup de travail pour montrer que Un et Vn convergent. Ce serait dommage de ne pas s'en servir.

[invite97a92052]

Bon, je me lance :

On a :


On en tire :



De plus,


Donc :


Soit :


On en tire que :


On veut donc chercher à calculer :


Or, on sait que

Donc

Or, on sait que u converge, donc

Donc

Et par composée,


Donc par produit :


CQFD ?

[invite4b9cdbca]

Pétard des fois je me demande vraiment où tu vas trouver toutes tes démos... çuilà, chapeau, je l'aurais probablement jamais trouvé (ou alors, avec énormément de mal)...

Tous mes respects...

Kron

[invite97a92052]

merci

Par contre, je ne sais pas si tout le boulot est fait, vu que là c'est juste la limite en l'infini... peut-être faut-il aussi montrer que ça converge assez vite (même si je n'ai aucune idée de comment faire) ... car pour pour 2, 3, 4, 5, 6... l'approximation est excellente aussi, pas la peine d'avoir des valeurs très grandes.

[invite4b9cdbca]

merci

Par contre, je ne sais pas si tout le boulot est fait, vu que là c'est juste la limite en l'infini... peut-être faut-il aussi montrer que ça converge assez vite (même si je n'ai aucune idée de comment faire) ... car pour pour 2, 3, 4, 5, 6... l'approximation est excellente aussi, pas la peine d'avoir des valeurs très grandes.

Je pense que c'est suffisant puisqu'il s'agit de prouver que :



(d'après l'énoncé)

Il reste plus qu'à repasser ton lim n! dans la limite et le tour est joué...

[invite4b9cdbca]

Pas de "groupe révisions" pour nous dire si c'est bon ?

Bon en tout cas, j'ai oral de latin mercredi alors je vais commencé a aller reviser un peu

Je reviendrai d'ici là.
Cordialement.

Kron.

[invite97a92052]

Ah oui, j'avais mal lu en effet

Mais on pourrait peut-être étudier
....

heu, en fait, vu l'expression que je trouve...


Sinon, je pense que ce n'est pas tout à fait juste quand même : la limite de n² en l'infini, c'est l'infini. la limite de n! en l'infini, c'est l'imfini, et pourtant la limite de n!/n², ça n'est pas 1

Donc je pense qu'il y a des "lim" à virer et donc d'autres ptites choses à changer dans mon message, parce que sinon ça ne démontre pas grand chose

bon, en attendant l'arrivée d'un correcteur, encore merci à vous, martini_bird, matthias et doryphore
Cet exercice fut très instructif (et je suis admiratif du fait que l'on puisse inventer un énoncé comme ça, c'est autrement plus dur que de le résoudre je pense... !)

(EDIT : bonne chance pour ton oral kron )

[invite4793db90]

Attention, ça va saigner!!!

Donc :

Horreur de chez horreur! Si on fait tendre , que viens faire un dans le résultat?

Du coup, toute la suite est fausse et, comme tu l'as dit:



Allez! Encore un petit effort, vous n'êtes plus très loin.

Je peux vous donner un petit indice si vraiment vous sèchez. Mais je pense que vous pouvez trouver.

Cordialement.

[invite4793db90]

Cet exercice fut très instructif (et je suis admiratif du fait que l'on puisse inventer un énoncé comme ça, c'est autrement plus dur que de le résoudre je pense... !)

Il faut plutôt être admiratif envers Wallis, De Moivre et Stirling: du haut de cet exercice, trois siècles vous contemplent!