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[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]



  1. #61
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling


    ------

    Ooops, désolé, merci matthias !
    J'ai des logarithmes plein l'esprit, j'ai pas fait attention...

    Excuse moi

    -----

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  3. #62
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    lol

    bon la suite

    On a

    or, sur notre intervalle, f(x) < 0 donc la suite (Un) est strictement décroissante

    De même,

    or, sur notre intervalle g(x) > 0 donc la suite (Vn) est strictement croissante.

    or,

    et

    d'ou

    Les suites (Un) et (Vn) sont donc adjacentes.
    Life is music !

  4. #63
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    or,

    et

    d'ou

    Les suites (Un) et (Vn) sont donc adjacentes.

    Faux !!
    La différence f-g ne prouve rien

  5. #64
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    lOn a

    or, sur notre intervalle, f(x) < 0 donc la suite (Un) est strictement décroissante

    De même,

    or, sur notre intervalle g(x) > 0 donc la suite (Vn) est strictement croissante.
    OK, pas de problème.

    Citation Envoyé par kron
    or,

    et

    d'ou

    Les suites (Un) et (Vn) sont donc adjacentes.
    Pourquoi ? Quelle est la définition de suites adjacentes ?
    [EDIT: grillé par g_h ]

  6. #65
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Faux !!
    La différence f-g ne prouve rien


    ah ?! zut... faut aussi que je revois mon cours sur les suites adjacentes alors... (et sur les suites tout court, carrément...)

    Edit : d'après mes souvenirs (faux apparemment) deux suites sont adjacentes si et seulement si : l'une est croissante et l'auter décroissante, et lim Un-Vn = 0... mais bon je dois me tromper...

    Edit 2 : ou alors doivent ils converger vers la même limite ?

    Edit 3 : oups d'accord je me suis trompé mea culpa...
    Dernière modification par kron ; 07/05/2005 à 21h32.
    Life is music !

  7. #66
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron


    ah ?! zut... faut aussi que je revois mon cours sur les suites adjacentes alors... (et sur les suites tout court, carrément...)

    Edit : d'après mes souvenirs (faux apparemment) deux suites sont adjacentes si et seulement si : l'une est croissante et l'auter décroissante, et lim Un-Vn = 0... mais bon je dois me tromper...
    Non, c'est bien ça.
    Mais ce n'est pas ce que tu as démontré.

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  9. #67
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    on a de plus Un - Vn = 1/(12n)

    or, lim 1/(12n) = 0

    donc lim Un-Vn = 0

    Avec ce qui a été démontré précédemmnt, on peut en conclure que les deux suites sont adjacentes.

    PS : quelle bourde j'ai faite avec f et g !! ^^
    Life is music !

  10. #68
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Par la suite, on peut ajouter que (Un) et (Vn) étant adjacentes avec (Un) décroissante, on peut en déduire que

    or, V(0) est un réel, donc (Un) est minorée. On peut en déduire que (Un) converge. On peut ainsi poser
    lim Un = l, avec l réel.
    Life is music !

  11. #69
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    Par la suite, on peut ajouter que (Un) et (Vn) étant adjacentes avec (Un) décroissante, on peut en déduire que

    or, V(0) est un réel, donc (Un) est minorée. On peut en déduire que (Un) converge. On peut ainsi poser
    lim Un = l, avec l réel.
    Vous n'avez pas un théorème qui assure directement la convergence des suiets adjacentes ?

  12. #70
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    euh... C'est à dire ? Je l'ai peut-être vu et oublié, mais d'autant que je me souvienne, j'ai toujours procédé comme ça... enfin je crois...
    Life is music !

  13. #71
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    euh... C'est à dire ? Je l'ai peut-être vu et oublié, mais d'autant que je me souvienne, j'ai toujours procédé comme ça... enfin je crois...
    Il n'est pas difficile de montrer que si Un et Vn sont adjacentes, ces suites convergent et que leurs limites sont égales (exercice).

  14. #72
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    pourrais tu donner les grandes lignes d'une telle démo, martini_bird ?
    Merci d'avance

    Sinon je vais me coucher, on repart demain avec g_h (je crois qu'il est parti [edit : ah non erreur ^^]) pour la suite (et fin) C'est que ça fatigue vachement de faire des maths intensives !

    Bonne soirée
    Cordialement

    Kron
    Life is music !

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  16. #73
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Non, on n'a pas de théorême disant "2 suites adjacentes convergent"
    Mais bon, c'est l'affaire d'une phrase supplémentaire sur la copie, c'est pas bien méchant

    EDIT : je suis toujours là, mais jme repose... On reprendra plus tard
    Dernière modification par g_h ; 07/05/2005 à 22h18.

  17. #74
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Puisque tout le monde fait dodo, j'en profite pour vous proposer une démonstration alternative pour la question 5-a):

    ___ a) Démontrer que pour tout

    ___
    Soit : on a

    et ainsi que



    Intégrons chaque membre de 0 à y, (avec pour les besoins de l'énoncé):



    et après calcul



    Posons alors y=1/x, de sorte que : on obtient



    qui donne l'inégalité escomptée.

    Voili, je vais de ce pas vous imiter et

    Cordialement.

  18. #75
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    on a

    d'où

    or, d'après la formule de Wallis :



    d'où on en déduit que :



    et là je suis bloqué ^^... Mais ai-je fait une erreur dans mes simplifications ?
    Dernière modification par kron ; 08/05/2005 à 13h12.
    Life is music !

  19. #76
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Salut,

    Citation Envoyé par kron
    on a

    d'où
    Non, il y a eu plantage.

  20. #77
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    euh... on a bien :



    non ?
    Life is music !

  21. #78
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ayé c'est bon j'ai compris...

    On a pour tout n>0 :

    et

    d'où :

    donc

    or, on a démontré précédemment la formule de Wallis telle que :



    on en déduit ainsi que :



    d'où :

    CQFD... ouf jepense tenir le bon bout, là... reste la dernière.. conclure...
    Life is music !

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  23. #79
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Qu'est ce qu'il faut conclure ?
    Life is music !

  24. #80
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Aurais-tu oublié le titre du fil ?

  25. #81
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par matthias
    Aurais-tu oublié le titre du fil ?
    Non non, mais on va dire que je n'arrive pas à trouver comment faire...
    Life is music !

  26. #82
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Vous avez fait beaucoup de travail pour montrer que Un et Vn convergent. Ce serait dommage de ne pas s'en servir.
    Dernière modification par matthias ; 08/05/2005 à 15h41.

  27. #83
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon, je me lance :

    On a :


    On en tire :



    De plus,


    Donc :


    Soit :


    On en tire que :


    On veut donc chercher à calculer :


    Or, on sait que

    Donc

    Or, on sait que u converge, donc

    Donc

    Et par composée,


    Donc par produit :


    CQFD ?

  28. #84
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Pétard des fois je me demande vraiment où tu vas trouver toutes tes démos... çuilà, chapeau, je l'aurais probablement jamais trouvé (ou alors, avec énormément de mal)...

    Tous mes respects...

    Kron
    Life is music !

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  30. #85
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    merci

    Par contre, je ne sais pas si tout le boulot est fait, vu que là c'est juste la limite en l'infini... peut-être faut-il aussi montrer que ça converge assez vite (même si je n'ai aucune idée de comment faire) ... car pour pour 2, 3, 4, 5, 6... l'approximation est excellente aussi, pas la peine d'avoir des valeurs très grandes.

  31. #86
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    merci

    Par contre, je ne sais pas si tout le boulot est fait, vu que là c'est juste la limite en l'infini... peut-être faut-il aussi montrer que ça converge assez vite (même si je n'ai aucune idée de comment faire) ... car pour pour 2, 3, 4, 5, 6... l'approximation est excellente aussi, pas la peine d'avoir des valeurs très grandes.
    Je pense que c'est suffisant puisqu'il s'agit de prouver que :



    (d'après l'énoncé)

    Il reste plus qu'à repasser ton lim n! dans la limite et le tour est joué...
    Life is music !

  32. #87
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Pas de "groupe révisions" pour nous dire si c'est bon ?

    Bon en tout cas, j'ai oral de latin mercredi alors je vais commencé a aller reviser un peu

    Je reviendrai d'ici là.
    Cordialement.

    Kron.
    Life is music !

  33. #88
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ah oui, j'avais mal lu en effet

    Mais on pourrait peut-être étudier
    ....

    heu, en fait, vu l'expression que je trouve...


    Sinon, je pense que ce n'est pas tout à fait juste quand même : la limite de n² en l'infini, c'est l'infini. la limite de n! en l'infini, c'est l'imfini, et pourtant la limite de n!/n², ça n'est pas 1

    Donc je pense qu'il y a des "lim" à virer et donc d'autres ptites choses à changer dans mon message, parce que sinon ça ne démontre pas grand chose

    bon, en attendant l'arrivée d'un correcteur, encore merci à vous, martini_bird, matthias et doryphore
    Cet exercice fut très instructif (et je suis admiratif du fait que l'on puisse inventer un énoncé comme ça, c'est autrement plus dur que de le résoudre je pense... !)

    (EDIT : bonne chance pour ton oral kron )
    Dernière modification par g_h ; 08/05/2005 à 20h14.

  34. #89
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Attention, ça va saigner!!!

    Citation Envoyé par g_h
    Donc :
    Horreur de chez horreur! Si on fait tendre , que viens faire un dans le résultat?

    Du coup, toute la suite est fausse et, comme tu l'as dit:



    Allez! Encore un petit effort, vous n'êtes plus très loin.

    Je peux vous donner un petit indice si vraiment vous sèchez. Mais je pense que vous pouvez trouver.

    Cordialement.

  35. #90
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Cet exercice fut très instructif (et je suis admiratif du fait que l'on puisse inventer un énoncé comme ça, c'est autrement plus dur que de le résoudre je pense... !)
    Il faut plutôt être admiratif envers Wallis, De Moivre et Stirling: du haut de cet exercice, trois siècles vous contemplent!

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