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formule de stirling



  1. #1
    CromoX

    formule de stirling


    ------

    Bonjour et bonne année à tous!

    Je suis en train de bloquer sur la démonstration de la formule de Stirling donnée dans un énoncé assez bizarre, du moins très différent des énoncés habituels tels que celui-ci : http://forums.futura-sciences.com/sh...light=stirling

    Mon sujet demande d'abord d'étudier la nature de la série de terme général
    vn=ln(un+1/un)
    où un=(nn*e-n*n1/2)/n!

    J'ai développé dans tous les sens possibles (pour moi en tout cas...), j'ai obtenu que lim vn=0, ce qui ne me donne malheureusement pas que la série est convergente. Et lorsque je développe la série, je n'arrive à rien.
    Si des âmes charitables veulent bien m'aider...
    Merci beaucoup d'avance!

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : formule de stirling

    Le fait que lim v_n=0 est un bon début pour que la série converge.

    Il me semble que tu n'es pas allé assez "loin" dans l'étude de ta suite, essaye d'utiliser des équivalents, voire des développements limités du type ln(1+x)=x-x^2/2+... quand x tend vers 0
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    CromoX

    Re : formule de stirling

    J'ai justement dû utiliser les développements limités pour obtenire lim vn=0. Mais quid de la somme des vn? Merci.

  5. #4
    martini_bird

    Re : formule de stirling

    Salut,

    comme Guyem te l'a conseillé, écris un dl de : perso, je trouve .

    La conclusion est immédiate.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. #5
    CromoX

    Re : formule de stirling

    Merci beaucoup!
    Bon, je m'étais amusé à faire un dl d'ordre 4 (parce que la prof aime ça...), et je ne m'en sortais plus.
    bon, j'avais fait un petit truc, mais je ne sais pas si c'est bon, donc juste pour vérifier :
    après dl d'ordre 4, j'avais
    vn=1/12n2 - 1/12n3 -1/8n4 + o(n-4)
    Et là je dis que pour tout n, 0<vn<1, soit vn positif et majorée donc somme de vn converge. Je ne sais pas ce que ça vaut. Merci!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : formule de stirling

    Et là je dis que pour tout n, 0<vn<1, soit vn positif et majorée donc somme de vn converge. Je ne sais pas ce que ça vaut.
    Ah non ce n'est pas suffisant (regarde par exemple ).

    L'idée est simplement qu'une série dont le terme est général est équivalent à est convergente si . Si tu ne veux pas utiliser ce résultat, majore le terme général.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  10. #7
    Moloch57

    Re : formule de stirling

    je dois m faire vieux car je n'arrive pas à me débarrasser du terme en 1/n. comment avez vous fait ?

  11. #8
    martini_bird

    Re : formule de stirling

    Perso, je suis arrivé à
    , et puisque ,
    , et en développant les termes constants et en 1/n s'annulent.

    En passant, je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur : comme le dit CromoX et non (j'avais omis le terme d'ordre 3 un peu vite) .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    Moloch57

    Re : formule de stirling

    merci. je m'étais contenté de ln(1+x) < x, forcément çamarche moins bien...

  13. #10
    CromoX

    Re : formule de stirling

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    En passant, je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur : comme le dit CromoX et non (j'avais omis le terme d'ordre 3 un peu vite) .

    Cordialement.
    Bon, apparemment j'ai loupé un train sur les dl aussi...
    Si j'ai bien compris, tu fais un dl d'ordre 2, il n'y a donc pas de terme d'ordre trois, ton résultat de vn=-1/4n2 était donc juste. Je m'étais amusé à le faire à l'ordre 4n alors forcément je me suis retrouvé avec un 1/12.
    Ou alors j'ai rien compris. Merci!

  14. #11
    martini_bird

    Re : formule de stirling

    Devant le log, il y a (n+1/2) : c'est à cause de ce facteur qu'il faut prendre un dl d'ordre 3, sinon, on perd des choses, la preuve !

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #12
    Ksilver

    Re : formule de stirling

    on peut aussi déveloper a un ordre de moins en remplacant les o par des O

    montrer que Vn = 1/4n²+o(1/n²) c'est bien,

    mais montrer que Vn = O(1/n²) est largement suffisent.

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