formule de stirling

[invitebd082db9]

Bonjour et bonne année à tous!

Je suis en train de bloquer sur la démonstration de la formule de Stirling donnée dans un énoncé assez bizarre, du moins très différent des énoncés habituels tels que celui-ci : http://forums.futura-sciences.com/sh...light=stirling

Mon sujet demande d'abord d'étudier la nature de la série de terme général
v_n=ln(u_n+1/u_n)
où u_n=(nⁿ*e^-n*n^1/2)/n!

J'ai développé dans tous les sens possibles (pour moi en tout cas...), j'ai obtenu que lim v_n=0, ce qui ne me donne malheureusement pas que la série est convergente. Et lorsque je développe la série, je n'arrive à rien.
Si des âmes charitables veulent bien m'aider...
Merci beaucoup d'avance!
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[GuYem]

Le fait que lim v_n=0 est un bon début pour que la série converge.

Il me semble que tu n'es pas allé assez "loin" dans l'étude de ta suite, essaye d'utiliser des équivalents, voire des développements limités du type ln(1+x)=x-x^2/2+... quand x tend vers 0

[invitebd082db9]

J'ai justement dû utiliser les développements limités pour obtenire lim v_n=0. Mais quid de la somme des v_n? Merci.

[martini_bird]

Salut,

comme Guyem te l'a conseillé, écris un dl de : perso, je trouve .

La conclusion est immédiate.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd082db9]

Merci beaucoup!
Bon, je m'étais amusé à faire un dl d'ordre 4 (parce que la prof aime ça...), et je ne m'en sortais plus.
bon, j'avais fait un petit truc, mais je ne sais pas si c'est bon, donc juste pour vérifier :
après dl d'ordre 4, j'avais
v_n=1/12n² - 1/12n³ -1/8n⁴ + o(n^-4)
Et là je dis que pour tout n, 0<v_n<1, soit v_n positif et majorée donc somme de v_n converge. Je ne sais pas ce que ça vaut. Merci!

[martini_bird]

Et là je dis que pour tout n, 0<vn<1, soit vn positif et majorée donc somme de vn converge. Je ne sais pas ce que ça vaut.

Ah non ce n'est pas suffisant (regarde par exemple ).

L'idée est simplement qu'une série dont le terme est général est équivalent à est convergente si . Si tu ne veux pas utiliser ce résultat, majore le terme général.

Cordialement.

[invitef36aef9d]

je dois m faire vieux car je n'arrive pas à me débarrasser du terme en 1/n. comment avez vous fait ?

[martini_bird]

Perso, je suis arrivé à
, et puisque ,
, et en développant les termes constants et en 1/n s'annulent.

En passant, je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur : comme le dit CromoX et non (j'avais omis le terme d'ordre 3 un peu vite) .

Cordialement.

[invitef36aef9d]

merci. je m'étais contenté de ln(1+x) < x, forcément çamarche moins bien...

[invitebd082db9]

En passant, je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur : comme le dit CromoX et non (j'avais omis le terme d'ordre 3 un peu vite) .

Cordialement.

Bon, apparemment j'ai loupé un train sur les dl aussi...
Si j'ai bien compris, tu fais un dl d'ordre 2, il n'y a donc pas de terme d'ordre trois, ton résultat de v_n=-1/4n² était donc juste. Je m'étais amusé à le faire à l'ordre 4n alors forcément je me suis retrouvé avec un 1/12.
Ou alors j'ai rien compris. Merci!

[martini_bird]

Devant le log, il y a (n+1/2) : c'est à cause de ce facteur qu'il faut prendre un dl d'ordre 3, sinon, on perd des choses, la preuve !

Cordialement.

[invite4ef352d8]

on peut aussi déveloper a un ordre de moins en remplacant les o par des O

montrer que Vn = 1/4n²+o(1/n²) c'est bien,

mais montrer que Vn = O(1/n²) est largement suffisent.