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[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]



  1. #91
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling


    ------

    ...c'était une bourde monumentale, j'avoue...

    Par contre, à te lire, on dirait qu'il y a un piège, mais si je me débrouille pour avoir toujours (limite machinchose) = 1, ya très peu de changements à apporter à mon post, non ?
    Ou alors je suis en train de faire une autre bourde...

    -----

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  3. #92
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    rien... + 10 caractères...

  4. #93
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon, piège ou pas, je réessaye !

    On a :


    On en tire :


    d'où


    De plus,

    d'où




    Donc :


    Soit :


    donc


    On veut donc chercher à calculer :


    Or, on sait que

    Donc

    Or, on sait que u converge, donc

    Donc

    Et par composée,


    Donc :


    Et enfin notre superbe formule :


    Espérons que ça soit bon...

  5. #94
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Par contre, à te lire, on dirait qu'il y a un piège, mais si je me débrouille pour avoir toujours (limite machinchose) = 1, ya très peu de changements à apporter à mon post, non ?
    Ou alors je suis en train de faire une autre bourde...
    Il n'y a pas de piège. Et le but est simplement de démontrer que la limite d'une expression est 1.

    Tout en sachant que si lim un=lim vn, on ne peut rien dire (en particulier il est improbable que un=vn).

    Voilà, je n'en dis pas plus, je te laisse chercher.

  6. #95
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Espérons que ça soit bon...
    Je valide.

    Cependant, il y a une méthode plus simple pour conclure: le calcul de la limite de wn...

  7. #96
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Super !

    Pour la limite de wn, on la calcule comment ? avec la formule de Stirling ?
    Non, je pense que c'est en calculant la limite de un, mais là je ne vois franchement pas comment faire...

    Tu pourrais développer ?

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  9. #97
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Apelle la limite de et utilise ceci:


  10. #98
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Oops, ton message m'a ouvert les yeux...

    u converge, donc w converge, donc lim w2n = lim wn = l, qui est réel, donc le quotient des limites vaut 1...

    C'est en effet plus simple

  11. #99
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Oops, ton message m'a ouvert les yeux...

    u converge, donc w converge, donc lim w2n = lim wn = l, qui est réel, donc le quotient des limites vaut 1...

    C'est en effet plus simple
    Tu veux parler du quotient , je pense.

    Mais il y a encore plus simple: quelle est la limite de ?

  12. #100
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Hé bien elle vaut !
    Ou veux-tu en venir ? on n'a pas besoin de savoir la valeur de la limite, on peut se contenter de savoir qu'elle est réelle, non ?
    Ou alors ça permet un raccourci que je ne vois pas...

  13. #101
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Oui oui, ce que je voulais dire c'est que grâce à l'identité



    On déduit tout de suite que la limite de vaut



    Voilà. Bonne nuit et à bientôt pour de nouvelles aventures!

  14. #102
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Héhé, sauf que dans mon cas, ça n'a pas été "tout de suite" (je m'en suis aperçu en écrivant le post précédent)

    Merci encore (et bonne nuit)

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  16. #103
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par martini_bird
    Oui oui, ce que je voulais dire c'est que grâce à l'identité



    On déduit tout de suite que la limite de vaut

    Il faudrait démontrer avant que Wn ne tend pas vers 0, non ?

  17. #104
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par matthias
    Il faudrait démontrer avant que Wn ne tend pas vers 0, non ?
    Tout à fait: on sait que un converge (disons vers r) et donc wn=exp(un) converge vers l=exp(r)>0.

    Bonne nuit.

  18. #105
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bonjour !

    Je viens de lire les derniers posts et compris ce qui s'y disait... En tout cas chapeau à g_h pour avoir fini l'exo ^^

    Merci encore pour toute cette attention !

    Kron
    Life is music !

  19. #106
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par martini_bird
    Il n'est pas difficile de montrer que si Un et Vn sont adjacentes, ces suites convergent et que leurs limites sont égales (exercice).
    Ca me rappelle quelque chose...
    Enfin, le bac c'était du gâteau à côté de cet exo

    Donc, c'était juste pour dire aux futurs bacheliers d'essayer de faire les exos qui se trouvent sur ce forum, c'est vraiment tout bénefs, et c'est autre chose que des exos-types (que les concepteurs de sujets tentent de faire disparaître au profit de plus de réflexion)
    Dernière modification par g_h ; 16/06/2005 à 20h35.

  20. #107
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Je confirme.
    Même pas d'intégrales en maths ! ça m'a un peu troué...
    Sinon encore merci pour ces exos passionnants. On le redira jamais assez.
    Life is music !

  21. #108
    invite83717259

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    en quel classe apprend on la formule de stirling

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  23. #109
    Coincoin

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Salut,
    Personnellement, je l'ai apprise en 2e année de prépa.
    Encore une victoire de Canard !

  24. #110
    Amethyste

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    vers le début (post 47) il est évoqué un " par le théorême des gendarmes"

    C'est quoi ce théorème qui semble ne pas encore exister à l'époque où j'étais encore étudiant?

    Enfin pas sous ce nom

    Merci

  25. #111
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par Amethyste
    vers le début (post 47) il est évoqué un " par le théorême des gendarmes"

    C'est quoi ce théorème qui semble ne pas encore exister à l'époque où j'étais encore étudiant?

    Enfin pas sous ce nom

    Merci
    Salut,

    c'est aussi connu sous le nom de théorème du sandwich: ce sont des moyens mnémotechniques de se couvenir de la signification du théorème.

    Celui-ci indique simplement que si une fonction à valeurs réelles est à la fois minorée et majorée par deux fonctions convergentes qui admettent la même limite au voisinage d'un point (éventuellement ± infini), alors cette fonction admet une limite au voisinage du même point qui est celle des deux autres.

    Cordialement.

  26. #112
    Kazik

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Préliminaires

    1

  27. #113
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Salut,

    ok pour le 1).

  28. #114
    Kazik

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    2

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  30. #115
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Pas de problème, ça m'a l'air bon.

  31. #116
    mtheory

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling [R]

    Pour ceux que ça intéresserait je signale que la formule de Stirling a de multiples applications en physique et même en biologie.


    En partant de la formule du Binôme, et de son application pour le calcul des probabilités avec la célèbre distribution de Bernoulli, on peut obtennir la distribution de Poisson.
    Celle-ci est fondamentale pour décrire des chose comme des probabilités de désintégrations radioactive sur un intervale de temps donné, le taux de mutation sur une certaine longueure d'ADN en réponse à une irradiation donnée etc....

    La formule de Stirling est aussi utilisée pour dériver les fonctions de distribution de Bose Einstein et Fermi Dirac.

    La fameuse formule du corps noir de Planck étant une application directe de la distribution de Bose Einstein appliqué à la distribution des états d'un gaz de photons.
    Celle de Fermi Dirac est utilisée pour comprendre les semie-conducteurs ou les naines blanches.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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