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[Maths] [L2] Calcul de zeta2



  1. #1
    matthias

    [Maths] [L2] Calcul de zeta2


    ------

    Bonjour, voici un exercice proposé par 09Jul85, permettant un calcul de
    1. Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que :


    2. Expliciter les racines de et calculer leur somme.

    3. Démontrer que:

    4. En déduire la valeur de :

    -----

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  3. #2
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    1) je crois que le poly en question c'est j ai pas fait le calcul mais normalement ca doit marcher, mais de la a prouver qu il est unique...ca m'interesserait de savoir comment faire !

    2). ses racines seront les ou les sont solutions ds de l equation
    or ces solutions sont exactement les or la fonction etant bijective sur (enfin j espere, j ai pas verifie ) on obtient de ce fait racines, par contre pour la somme je sens qu il faut utiliser les fonctions elementaires symetriques, mais d'une je ne m'en souviens plus et de deux on a pas les coefs du polynome donc n fait ca risque de pas marcher

    3)on a
    Dernière modification par deep_turtle ; 13/07/2005 à 12h50. Motif: correction de balise TeX

  4. #3
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    grrrrrr me suis encore trompe de bouton
    bon ds le premier message il faut comprendre

    puis pour 3) d ou l on tire
    puis car on est ds
    par contre la 2eme partie je vois pas trop d ou la sortir

    4)il faut encadrer la somme avec les questions precedentes je pense pas qu il y ait bcp de difficultes
    Dernière modification par bobbyfischer ; 12/07/2005 à 13h51.

  5. #4
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Pour la 1), tu peux t'intéresser à la partie imaginaire de :

    en la calculant de 2 manières différentes, tu devrais retomber sur tes pattes.

  6. #5
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    le hic c'est que je ne vois meme pas comment la calculer d'une seule maniere car a part dire que c'est egal au second membre de l egalite definissant le polynome, je vois pas trop ce qu on peut en faire

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Tu connais la formule du binôme de Newton pour calculer (a+b)n ?

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  10. #7
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    bien sur pourquoi n'y ai-je pas pense avant

  11. #8
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    bon je vais pas detailler tous les calculs parce que c'est chaud a ecrire avec latex, donc je dis ce que j'ai fait: j ai separe la somme en 2 (les entiers pairs et les impairs)
    et finalement j trouve:


    bon mais j ai surement du faire une erreur parce que je vois pas trop comment ca a se simplifier cette histoire

    en tout cas j aurais appris des nouvelles commandes latex d'ailleurs juste comme ca ca serait bien que le latex ait la meme gueule ici que sur les-mathemaituqes.net parce qu'il est bcp plus joli la-bas
    Dernière modification par bobbyfischer ; 13/07/2005 à 12h22.

  12. #9
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Houla, c'est bien compliqué. J'ai du mal à voir comment tu as obtenu ça.



    Tu prends la partie imaginaire, tu simplifies un peu.

  13. #10
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    lol moi j ai juste developpe l'exponentielle, pas le quotient, je suis un peu fatigue ces temps-ci

    bon je vais voir ce que je peux faire mnt

  14. #11
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Ca ne change rien. C'est juste un chouya plus simple comme ça parce que les cotan(t) apparaissent immédiatement.

  15. #12
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    donc finalement je trouve ca:



    et on obtient le poly en remplacant cotan^2 par

    c'est ca ?

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  17. #13
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Tu ne devrais pas avoir de mal à simplifier la partie entière de (2n+1)/2 (d'ailleurs pas très clair dans ton expression).
    Sinon es-tu sûr d'avoir pris les bons coefficients binomiaux en séparant partie réelle et partie imaginaire ?

  18. #14
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    pour la partie entiere effectivment ca fait n

    et pour les coeffs binomiaux oui je suis pratiquement sur de moi parce qu on separe la somme en 2 sommes(celle portant sur les pairs et celle portant sur les impairs) et c'est la somme des impairs qui compte ds la partie imaginaire donc le "chgt de var" si on peut l'appeler comme ca est bien 2p+1 ? ou alors je n'ai rien compris...

  19. #15
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Tu as raison c'est bon, c'est moi qui me suis embrouillé.

  20. #16
    bobbyfischer

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    ouf j'y serais arrive laborieusement qd meme !

    mais mon probleme reste le meme: comment prouve-ton l'unicite d'un tel polynome ?

    ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6
    la suite doit etre plus facile

    est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome

  21. #17
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Citation Envoyé par bobbyfischer
    mais mon probleme reste le meme: comment prouve-ton l'unicite d'un tel polynome ?
    Tu peux déjà montrer facilement que si plusieurs polynômes conviennent, ils doivent prendre les mêmes valeurs sur ]0;+infini[

    Citation Envoyé par bobbyfischer
    ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6
    la suite doit etre plus facile

    est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome
    Tu as un polynôme de degré n à n racines. Tu peux l'écrire sous la forme:

    et regarder ce que vaut le coefficient en Xn-1

  22. #18
    harmonieee

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Bonsoir, je viens vous demander un petit peu d'aide, car j'ai à peu près le meme travail, j'ai traité les premières questions, mais je suis bloquée au calcul de la somme des racines car je nai pas encore vu les fonctions élémentaires symétriques...Alors si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer...

    Merci beaucoup à celui ou celle qui me consacrera un peu de tps...

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  24. #19
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Reprends la dernière indication donnée (regarder ce que vaut le coefficient en Xn-1).

  25. #20
    AriesSith

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    pour ce qui est de la somme des racines, je trouve :

  26. #21
    AriesSith

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    En y regardant de plus près ... je crois que je me suis trompé dans ma réponse précédente.

    Je donne quand même un élément de la question 3)


  27. #22
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Citation Envoyé par AriesSith
    pour ce qui est de la somme des racines, je trouve :
    Il y a un an qui devrait intervenir quelque part.
    et une petite erreur sur le coefficient an-1 je crois.

  28. #23
    matthias

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Citation Envoyé par AriesSith
    avec un intervalle ouvert, ça devrait mieux fonctionner

  29. #24
    AriesSith

    Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2

    Oui oui ! Oulala !!

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