Bonjour, voici un exercice proposé par 09Jul85, permettant un calcul de
1. Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe un unique polynômetel que :
2. Expliciter les racines de
3. Démontrer que:
4. En déduire la valeur de :
1) je crois que le poly en question c'est
2). ses racines seront les
or ces solutions sont exactement les) on obtient de ce fait
3)on a
grrrrrr me suis encore trompe de bouton
bon ds le premier message il faut comprendre
puis pour 3)
par contre la 2eme partie je vois pas trop d ou la sortir
4)il faut encadrer la somme avec les questions precedentes je pense pas qu il y ait bcp de difficultes
Pour la 1), tu peux t'intéresser à la partie imaginaire de :
en la calculant de 2 manières différentes, tu devrais retomber sur tes pattes.
le hic c'est que je ne vois meme pas comment la calculer d'une seule maniere car a part dire que c'est egal au second membre de l egalite definissant le polynome, je vois pas trop ce qu on peut en faire
Tu connais la formule du binôme de Newton pour calculer (a+b)n ?
bien sur pourquoi n'y ai-je pas pense avant
bon je vais pas detailler tous les calculs parce que c'est chaud a ecrire avec latex, donc je dis ce que j'ai fait: j ai separe la somme en 2 (les entiers pairs et les impairs)
et finalement j trouve:
bon mais j ai surement du faire une erreur parce que je vois pas trop comment ca a se simplifier cette histoire
en tout cas j aurais appris des nouvelles commandes latex d'ailleurs juste comme ca ca serait bien que le latex ait la meme gueule ici que sur les-mathemaituqes.net parce qu'il est bcp plus joli la-bas
Houla, c'est bien compliqué. J'ai du mal à voir comment tu as obtenu ça.
Tu prends la partie imaginaire, tu simplifies un peu.
lol
bon je vais voir ce que je peux faire mnt
Ca ne change rien. C'est juste un chouya plus simple comme ça parce que les cotan(t) apparaissent immédiatement.
donc finalement je trouve ca:
et on obtient le poly en remplacant cotan^2 par
c'est ca ?
Tu ne devrais pas avoir de mal à simplifier la partie entière de (2n+1)/2 (d'ailleurs pas très clair dans ton expression).
Sinon es-tu sûr d'avoir pris les bons coefficients binomiaux en séparant partie réelle et partie imaginaire ?
pour la partie entiere effectivment ca fait n
et pour les coeffs binomiaux oui je suis pratiquement sur de moi parce qu on separe la somme en 2 sommes(celle portant sur les pairs et celle portant sur les impairs) et c'est la somme des impairs qui compte ds la partie imaginaire donc le "chgt de var" si on peut l'appeler comme ca est bien 2p+1 ? ou alors je n'ai rien compris...
Tu as raison c'est bon, c'est moi qui me suis embrouillé.
ouf j'y serais arrive laborieusement qd meme !
mais mon probleme reste le meme: comment prouve-ton l'unicite d'un tel polynome ?
ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6
la suite doit etre plus facile
est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome
Tu peux déjà montrer facilement que si plusieurs polynômes conviennent, ils doivent prendre les mêmes valeurs sur ]0;+infini[Envoyé par bobbyfischer
Tu as un polynôme de degré n à n racines. Tu peux l'écrire sous la forme:ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6
la suite doit etre plus facile
est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome
et regarder ce que vaut le coefficient en Xn-1
Bonsoir, je viens vous demander un petit peu d'aide, car j'ai à peu près le meme travail, j'ai traité les premières questions, mais je suis bloquée au calcul de la somme des racines car je nai pas encore vu les fonctions élémentaires symétriques...Alors si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer...
Merci beaucoup à celui ou celle qui me consacrera un peu de tps...
Reprends la dernière indication donnée (regarder ce que vaut le coefficient en Xn-1).
pour ce qui est de la somme des racines, je trouve :
En y regardant de plus près ... je crois que je me suis trompé dans ma réponse précédente.
Je donne quand même un élément de la question 3)
Il y a un an qui devrait intervenir quelque part.pour ce qui est de la somme des racines, je trouve :
et une petite erreur sur le coefficient an-1 je crois.
avec un intervalle ouvert, ça devrait mieux fonctionner
Oui oui ! Oulala !!
