Hehe le problème c'est que j'ai peur de ne pas connaiter mes dérivées de fonctions composées ^^Envoyé par g_h
En décomposant chaque inégalité, en calculant la valeur de la différence de chaque membre pour x=1, et en étudiant le signe de la dérivée de la différence, ça a l'air de marcher
Il y a peut-être plus simple mais je ne vois pas
Une bonne occasion de s'entrainer
On pose u(x) = ln(1 + 1/x) - 1/(x+1)
u est dérivable car somme de deux fonctions dérivables sur [1 ; +inf]
c'est là que je suis moins sûr :
Ainsi la dérivée est positive, u est donc strictement croissante sur l'intervalle donnée.
De plus, u(1) > 0 donc u(x)>0 pour tout x de [1 ; +inf]
On en déduit que pour tout x de [1 ; +inf]
J'espère ne pas avoir planté la dérivation, sinon je pense que c'est à peu près ça, avec les détails de calculs en moins ^^
Oui... faut bien préciser l'intervalle sur lequel tu travailles alors (pour ta dernière inégalité) (edit : je parle du post #30)
Comme autre méthode, on peut aussi montrer que l'équation (différence)(x) = 0 n'a pas de solution, et que par continuité, la différence garde le même signe partout sur l'intervalle étudié
J'essayais de passer par la fonction W de Lambert pour résoudre, mais je n'arrive pas à arriver à une expression correcte.
(de toute façon, je ne pense pas que ça soit le genre de trucs à mettre sur une copie de bac)
Bien joué, je n'avais pas pensé à réutiliser ce résultat!
Tu t'es planté dans ta dérivée ! Si tu dérives un log, le log s'en va
Pas vraiment!
Bon c'est parti alors
J'ai bon ?
Ta dérivée est juste.
Rappel pour dériver une composition de fonctions: soient f, g deux fonctions dérivables sur des intervalles I et J respectivement tels que(*). Alors
_____________________
(*) On peut se représenter la suite de composition par le diagramme
Je trouve la même chose.
Tu es sur ?
Ça n'est pas plutôt
Si si!Tu es sur ?
Ça n'est pas plutôt
C'est la faute aux rayons cosmiques qui ont déformé mon message.
PS: j'ai édité afin qu'il n'y ait pas de confusion.
Ok
Bon, reprenons alors :
u' est strictement positive sur notre intervalle (car x >= 1 et (x+1)² >= 2 ), donc u est strictement croissante sur
De plus, u(0) = 1/2 - ln(2) soit à peu près -0.2
Et
Donc
Donc
Je reviens plus tard pour la suite...
C'est ok.
Peut-être ce détail:
Tu aurais pu choisir u(1) puisqu'on ne demandait l'inégalité que pour
Bon je prends un peu la relève
On a démontré précédemment que pour tout x de [1 ; +inf[ on avait l'encadrement suivant :
on a ainsi puisque pour tout x de notre intervalle, ln(1+1/x) > 0 :
d'où
Voilà. Sinon je ne compends pas ce que ceut dire "justifie l'existence de la limite de f en +inf"...
Arf, en effet... en fait, j'ai écrit u(0) mais j'ai calculé u(1) (d'ailleurs u(0) n'existe même pas)C'est ok.
Peut-être ce détail:
Tu aurais pu choisir u(1) puisqu'on ne demandait l'inégalité que pour
Sinon, peut-être faudrait-il juste préciser que u est continue, étant dérivable, à côté de
Mais peut-être que je pinaille aussi...
Je pense que ça veut dire "justifier l'existence d'une limite réelle" (comme pour les suites : si u n'a pas de limite, elle diverge vers l'infini)
Et dans ce cas :
ssi
ssi
ssi
D'où, par le théorême des gendarmes,
Bon bah pour la suite, on peut dire que la fonction f est continue et strictement croissante sur son domaine de définition (de par le sgne de sadérivé) et que lim(x->+inf) f(x) = 0 donc f(x) < 0 pour tout x de [1 ; +inf[
On attaque la suite ?
Comme tu multiplies par (x+1/2), il serait mieux de préciser que x+1/2>0.
Et avant d'écire lim=..., dire que la fonction f admet une limite en +D'où, par le théorême des gendarmes,
A part ces détails, je valide.
A vos crayons!
Argh, je clique sur le bouton pour poster, et boum, erreur fatale... !
Je recommence...
NONNNNNNNNNN
Argh quelle horreur !!!
Bon en même temps, vu qu'on ne définit pas vraiment les limites en Terminale, ceci explique cela.
Penses à la fonction x->sin(x) ou à la suite sin(n)
pourrais tu donner la définition de la limite d'une fonction s'il te plait matthias ?
Merci.
Cordialement.
Ouups, ok, en effet j'étais assez loin de la plaque là !
Bon je reprend :
g, produit et somme de fonctions dérivables sur
Et donc :
g', produit et somme de fonctions dérivables sur
Et donc :
Et ça fait même réviser le binôme de Newton
Bon sur notre intervalle (que je vais appeler D à partir de maintenant) x>0 donc x^3 > 0
ainsi g"(x) > 0 pour tout x de D
g' est donc strictement croissante sur D
De plus, on a :
g'(1) = -ln2 + 3/4 - 1/24 = -ln2 + 17/24
donc g'(1) > 0
et lim(x->+inf) = 0
Euh... où est mon erreur ??
Pas simple.
Prenons pour simplifier une fonction f à valeurs réelles définie sur IR.
f tend vers l (réél) quand x tend vers x0 est équivalent à:
pour tout epsilon > 0, il existe alpha > 0 tel que |x-x0| < alpha implique |f(x)-l| < epsilon
Ce qui signifie, que pour une précision aussi petite qu'on veut on peut trouver un intervalle ouvert centré sur x0 tel que f(x) est égal à l à la précision voulue sur cet intervalle.
f tend vers +infini quand x tend vers x0 est équivalent à:
pour tout A réel, il existe alpha > 0 tel que |x-x0| < alpha implique f(x) > A
Ce qui signifie, que pour une valeur aussi grande qu'on veut on peut trouver un intervalle ouvert centré sur x0 tel que f(x) est supérieur à A sur cet intervalle.
f tend vers l (réél) quand x tend vers +infini est équivalent à:
pour tout epsilon > 0, il existe a réél tel que x > a implique |f(x)-l| < epsilon
Ce qui signifie, que pour une précision aussi petite qu'on veut on peut trouver une valeur réelle telle que f(x) est égal à l à la précision voulue pour tout x supérieur à cette valeur.
f tend vers +infini quand x tend vers +infini est équivalent à:
pour tout A réel, il existe a réél tel que x > a implique f(x) > A
Ce qui signifie, que pour une valeur A aussi grande qu'on veut on peut trouver une valeur réelle a telle que f(x) est supérieur à A pour tout x supérieur à a.
Bon, alors on a :
Donc
Et
De plus,
Donc
g' étant strictement croissante, on a donc
Donc g est strictement décroissante sur
De plus,
Et
Donc g décroît sur
g_h comment tu trouves ton 1/16 ?? moi j'ai g'(1) = f'(1) - (1/12)*(1/2) soit -ln2 + 3/4 - 1/24...Bon, alors on a :
Donc
Et
f'(1) = 3/4 - ln(2) je suis d'accord
Par contre,
Non ?
Merci pour la définition martini_bird !
On ne les a jamais définies aussi précisément en effet
ah ouais ok...
f'(1) = 3/4 - ln(2) je suis d'accord
Par contre,
Non ?
Merci pour la définition martini_bird !
On ne les a jamais définies aussi précisément en effet
en fait l'expression de g'(x) donnée dans l'énoncé semble erroné. J'ai en effet :
Mais ça ne collait pas avec les résultats...
C'est bon j'ai compris, je passe à la suite
Kron
Edit : en fait j'avais une ancienne version de l'énoncé.. j'ai pas fait attention aux changements...
Je t'en prie.Merci pour la définition martini_bird !
On ne les a jamais définies aussi précisément en effet
Au fait moi, c'est matthias ....
