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[Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]



  1. #31
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling


    ------

    Citation Envoyé par g_h
    En décomposant chaque inégalité, en calculant la valeur de la différence de chaque membre pour x=1, et en étudiant le signe de la dérivée de la différence, ça a l'air de marcher

    Il y a peut-être plus simple mais je ne vois pas
    Hehe le problème c'est que j'ai peur de ne pas connaiter mes dérivées de fonctions composées ^^

    -----
    Life is music !

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  3. #32
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    Hehe le problème c'est que j'ai peur de ne pas connaiter mes dérivées de fonctions composées ^^
    Une bonne occasion de s'entrainer

  4. #33
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    On pose u(x) = ln(1 + 1/x) - 1/(x+1)

    u est dérivable car somme de deux fonctions dérivables sur [1 ; +inf]

    c'est là que je suis moins sûr :



    Ainsi la dérivée est positive, u est donc strictement croissante sur l'intervalle donnée.

    De plus, u(1) > 0 donc u(x)>0 pour tout x de [1 ; +inf]

    On en déduit que pour tout x de [1 ; +inf]



    J'espère ne pas avoir planté la dérivation, sinon je pense que c'est à peu près ça, avec les détails de calculs en moins ^^
    Life is music !

  5. #34
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Oui... faut bien préciser l'intervalle sur lequel tu travailles alors (pour ta dernière inégalité) (edit : je parle du post #30)

    Comme autre méthode, on peut aussi montrer que l'équation (différence)(x) = 0 n'a pas de solution, et que par continuité, la différence garde le même signe partout sur l'intervalle étudié

    J'essayais de passer par la fonction W de Lambert pour résoudre, mais je n'arrive pas à arriver à une expression correcte.
    (de toute façon, je ne pense pas que ça soit le genre de trucs à mettre sur une copie de bac)

  6. #35
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    J'essaie ça :

    on sait que pour tout x de [1 ; +inf], on a f'(x) >0

    [...]
    Bien joué, je n'avais pas pensé à réutiliser ce résultat!

  7. #36
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Tu t'es planté dans ta dérivée ! Si tu dérives un log, le log s'en va

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  9. #37
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    J'essayais de passer par la fonction W de Lambert pour résoudre, mais je n'arrive pas à arriver à une expression correcte.
    (de toute façon, je ne pense pas que ça soit le genre de trucs à mettre sur une copie de bac)
    Pas vraiment!

  10. #38
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon c'est parti alors



    J'ai bon ?

  11. #39
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ta dérivée est juste.

    Rappel pour dériver une composition de fonctions: soient f, g deux fonctions dérivables sur des intervalles I et J respectivement tels que (*). Alors est dérivable sur J et:



    _____________________

    (*) On peut se représenter la suite de composition par le diagramme

    Dernière modification par martini_bird ; 07/05/2005 à 18h35.

  12. #40
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Je trouve la même chose.

  13. #41
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par martini_bird

    Tu es sur ?
    Ça n'est pas plutôt ?

  14. #42
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Tu es sur ?
    Ça n'est pas plutôt ?
    Si si!

    C'est la faute aux rayons cosmiques qui ont déformé mon message.

    PS: j'ai édité afin qu'il n'y ait pas de confusion.

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  16. #43
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ok

    Bon, reprenons alors :

    Citation Envoyé par g_h
    u' est strictement positive sur notre intervalle (car x >= 1 et (x+1)² >= 2 ), donc u est strictement croissante sur


    De plus, u(0) = 1/2 - ln(2) soit à peu près -0.2
    Et
    Donc
    Donc

    Je reviens plus tard pour la suite...

  17. #44
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    C'est ok.

    Peut-être ce détail:

    Citation Envoyé par g_h
    De plus, u(0) = 1/2 - ln(2) soit à peu près -0.2
    Tu aurais pu choisir u(1) puisqu'on ne demandait l'inégalité que pour .

  18. #45
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon je prends un peu la relève

    On a démontré précédemment que pour tout x de [1 ; +inf[ on avait l'encadrement suivant :



    on a ainsi puisque pour tout x de notre intervalle, ln(1+1/x) > 0 :



    d'où



    Voilà. Sinon je ne compends pas ce que ceut dire "justifie l'existence de la limite de f en +inf"...
    Life is music !

  19. #46
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par martini_bird
    C'est ok.

    Peut-être ce détail:

    Tu aurais pu choisir u(1) puisqu'on ne demandait l'inégalité que pour .
    Arf, en effet... en fait, j'ai écrit u(0) mais j'ai calculé u(1) (d'ailleurs u(0) n'existe même pas)

    Sinon, peut-être faudrait-il juste préciser que u est continue, étant dérivable, à côté de , non ?
    Mais peut-être que je pinaille aussi...

  20. #47
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    Voilà. Sinon je ne compends pas ce que ceut dire "justifie l'existence de la limite de f en +inf"...
    Je pense que ça veut dire "justifier l'existence d'une limite réelle" (comme pour les suites : si u n'a pas de limite, elle diverge vers l'infini)

    Et dans ce cas :


    ssi
    ssi
    ssi

    D'où, par le théorême des gendarmes,

  21. #48
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon bah pour la suite, on peut dire que la fonction f est continue et strictement croissante sur son domaine de définition (de par le sgne de sadérivé) et que lim(x->+inf) f(x) = 0 donc f(x) < 0 pour tout x de [1 ; +inf[

    On attaque la suite ?
    Life is music !

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  23. #49
    martini_bird

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    on a ainsi puisque pour tout x de notre intervalle, ln(1+1/x) > 0 :
    Comme tu multiplies par (x+1/2), il serait mieux de préciser que x+1/2>0.

    Citation Envoyé par g_h
    D'où, par le théorême des gendarmes,
    Et avant d'écire lim=..., dire que la fonction f admet une limite en +.

    A part ces détails, je valide.

    Citation Envoyé par kron
    Bon bah pour la suite, on peut dire que la fonction f est continue et strictement croissante sur son domaine de définition (de par le sgne de sadérivé) et que lim(x->+inf) f(x) = 0 donc f(x) < 0 pour tout x de [1 ; +inf[

    On attaque la suite ?
    A vos crayons!
    Dernière modification par martini_bird ; 07/05/2005 à 20h03.

  24. #50
    g_h
    Argh, je clique sur le bouton pour poster, et boum, erreur fatale... !

    Je recommence...

  25. #51
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Je pense que ça veut dire "justifier l'existence d'une limite réelle" (comme pour les suites : si u n'a pas de limite, elle diverge vers l'infini)
    NONNNNNNNNNN
    Argh quelle horreur !!!
    Bon en même temps, vu qu'on ne définit pas vraiment les limites en Terminale, ceci explique cela.
    Penses à la fonction x->sin(x) ou à la suite sin(n)

  26. #52
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    pourrais tu donner la définition de la limite d'une fonction s'il te plait matthias ?
    Merci.

    Cordialement.
    Life is music !

  27. #53
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Ouups, ok, en effet j'étais assez loin de la plaque là !

    Bon je reprend :



    g, produit et somme de fonctions dérivables sur , est dérivable sur

    Et donc :


    g', produit et somme de fonctions dérivables sur , est dérivable sur

    Et donc :


    Et ça fait même réviser le binôme de Newton

  28. #54
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon sur notre intervalle (que je vais appeler D à partir de maintenant) x>0 donc x^3 > 0

    ainsi g"(x) > 0 pour tout x de D

    g' est donc strictement croissante sur D

    De plus, on a :

    g'(1) = -ln2 + 3/4 - 1/24 = -ln2 + 17/24
    donc g'(1) > 0

    et lim(x->+inf) = 0

    Euh... où est mon erreur ??
    Life is music !

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  30. #55
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par kron
    pourrais tu donner la définition de la limite d'une fonction s'il te plait matthias ?
    Merci.
    Pas simple.
    Prenons pour simplifier une fonction f à valeurs réelles définie sur IR.

    f tend vers l (réél) quand x tend vers x0 est équivalent à:
    pour tout epsilon > 0, il existe alpha > 0 tel que |x-x0| < alpha implique |f(x)-l| < epsilon
    Ce qui signifie, que pour une précision aussi petite qu'on veut on peut trouver un intervalle ouvert centré sur x0 tel que f(x) est égal à l à la précision voulue sur cet intervalle.

    f tend vers +infini quand x tend vers x0 est équivalent à:
    pour tout A réel, il existe alpha > 0 tel que |x-x0| < alpha implique f(x) > A
    Ce qui signifie, que pour une valeur aussi grande qu'on veut on peut trouver un intervalle ouvert centré sur x0 tel que f(x) est supérieur à A sur cet intervalle.

    f tend vers l (réél) quand x tend vers +infini est équivalent à:
    pour tout epsilon > 0, il existe a réél tel que x > a implique |f(x)-l| < epsilon
    Ce qui signifie, que pour une précision aussi petite qu'on veut on peut trouver une valeur réelle telle que f(x) est égal à l à la précision voulue pour tout x supérieur à cette valeur.

    f tend vers +infini quand x tend vers +infini est équivalent à:
    pour tout A réel, il existe a réél tel que x > a implique f(x) > A
    Ce qui signifie, que pour une valeur A aussi grande qu'on veut on peut trouver une valeur réelle a telle que f(x) est supérieur à A pour tout x supérieur à a.

  31. #56
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Bon, alors on a :

    Donc est strictement croissante sur

    Et (donc < 0)

    De plus,
    Donc

    g' étant strictement croissante, on a donc

    Donc g est strictement décroissante sur

    De plus,

    Et
    Donc g décroît sur de à

  32. #57
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Bon, alors on a :

    Donc est strictement croissante sur

    Et
    g_h comment tu trouves ton 1/16 ?? moi j'ai g'(1) = f'(1) - (1/12)*(1/2) soit -ln2 + 3/4 - 1/24...
    Life is music !

  33. #58
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling



    f'(1) = 3/4 - ln(2) je suis d'accord
    Par contre,

    Non ?

    Merci pour la définition martini_bird !
    On ne les a jamais définies aussi précisément en effet

  34. #59
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h


    f'(1) = 3/4 - ln(2) je suis d'accord
    Par contre,

    Non ?

    Merci pour la définition martini_bird !
    On ne les a jamais définies aussi précisément en effet
    ah ouais ok...
    en fait l'expression de g'(x) donnée dans l'énoncé semble erroné. J'ai en effet :



    Mais ça ne collait pas avec les résultats...

    C'est bon j'ai compris, je passe à la suite . Encore merci.

    Kron

    Edit : en fait j'avais une ancienne version de l'énoncé.. j'ai pas fait attention aux changements...
    Dernière modification par kron ; 07/05/2005 à 21h15.
    Life is music !

  35. #60
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Formule de Stirling

    Citation Envoyé par g_h
    Merci pour la définition martini_bird !
    On ne les a jamais définies aussi précisément en effet
    Je t'en prie.
    Au fait moi, c'est matthias ....

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