[Maths] [TS-L1] Rationnels adjacents

[matthias]

Voici un exercice d'arithmétique abordant la notion de nombres rationnels adjacents et en donnant une interprétation géométrique.

Rationnels adjacents

1) Soient des entiers relatifs tels que

a) Montrer qu'il existe deux entiers relatifs et tels que:

b) On suppose en plus , et . Montrer que l'inégalité:

implique

2) Notons le dénominateur du représentant irréductible d'un nombre rationnel .

Pour tout

On dira que deux éléments et distincts de sont adjacents dans , s'il n'existe aucun élément de strictement compris entre et .

On dira que deux nombres rationnels et sont adjacents s'il existe tel que et soient adjacents dans .

a) Ecrire tous les élémnets de appartenant à l'intervalle pour .
Quels sont les éléments adjacents à dans ? Dans ?

b) Montrer que deux rationnels de formes irréductibles et , avec et , sont adjacents.

c) Soit un rationnel de forme irréductible avec . Montrer qu'il existe deux rationnels de formes irréductibles et tels que:

et
et

d) En déduire que si deux rationnels de formes irréductibles et sont adjacents, alors .

e) Soient et deux rationnels adjacents. Montrer qu'il existe un unique rationnel adjacent à la fois à et à et qui soit strictement compris entre les deux.

3) A tout rationnel , on associe les nombres:

Soit le point de coordonnées dans un repère orthonormé .

Soit le cercle de centre et de rayon .

Montrer qu'à deux nombres rationnels et distincts correspondent deux cercles et extérieurs ou tangents extérieurement.
Etablir que ces cercles sont tangents extérieurement si et seulement si et sont adjacents.
Faire une figure si possible.