[Maths] [L1] Suites et espaces métriques

[doryphore]

On munit l'espace de la distance .

1/ Montrer que est bien une distance sur .

2/ Montrer que cette distance définit sur la même topologie que la topologie usuelle.

3/ Montrer que l'espace métrique n'est pas complet.

4/ On restreint la distance à l'espace ]0,1]. Montrer que est complet.
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[invite19431173]

On munit l'espace de la distance .

Rien que là, ça coince... C'est grave docteur ?

En fait, tu parles d'un espace qui va de 0 à l'infini (exclus), qu'est-ce que cela représente ? Parce qu'après tu parles de distance en fonction de x et y (donc 2 dimensions).

Oui, oui, je suis pas au top niveau en maths !

[invitebc2a6d05]

On munit l'espace de la distance .

1/ Montrer que est bien une distance sur

On sait que x et y
Donc et
Si on suppose que |x - y| est une distance (séparant le point y du point x, alors de la même manière on peut considérer que est une distance séparant les points et .

Or un peu plus haut on a vu que et

Donc on peut en déduire que est une distance sur

Voilà, sans conviction, je remets ma copie au correcteur (lol) en espèrant qu'il sera indulgent pour le raisonnement qui n'est peut être pas juste et surtout pour la rigueur qui est sûrement à améliorer...

PS: je suis en L1 CIMP (Chimie Informatique Mathématiques Physique) mais je n'ai pas encore vu les espaces métriques.
Peut être pour bientôt...

[erik]

Rigoureusement on appelle d une distance sur un ensemble E, une application de ExE dans IR+ telle que :

i) pour tout x et y appartenant à E, d(x,y)>= 0
ii) d(x,y)=0 si et seulement si x=y
ii) d(x,y)=d(y,x)
iv) d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebc2a6d05]

ok
merci pour ces infos

[doryphore]

Rien que là, ça coince... C'est grave docteur ?

En fait, tu parles d'un espace qui va de 0 à l'infini (exclus), qu'est-ce que cela représente ? Parce qu'après tu parles de distance en fonction de x et y (donc 2 dimensions).

Oui, oui, je suis pas au top niveau en maths !

Oui, en mathématique on ne se gêne pas pour appeler espace l'ensemble des nombres strictement positif.

En fait, l'ensemble des nombres strictement positif est un ensemble. Si, on le munit d'une distance (appelée aussi métrique), cet ensemble a le droit d'être appelé espace métrique.

Dans la définition de la distance qui nous intéresse: , on explique quel calcul, on doit effectuer pour indiquer la distance entre deux points quelconques de mon ensemble des nombres strictement positifs: J'ai donc bien besoin d'utiliser deux variables x et y.

En fait, une distance sur E est une application de ExE dans . C'est de là que te viens l'impression de travailler en dimension 2.

On sait que x et y
Donc et
Si on suppose que |x - y| est une distance (séparant le point y du point x, alors de la même manière on peut considérer que est une distance séparant les points et .

Or un peu plus haut on a vu que et

Donc on peut en déduire que est une distance sur

Voilà, sans conviction, je remets ma copie au correcteur (lol) en espèrant qu'il sera indulgent pour le raisonnement qui n'est peut être pas juste et surtout pour la rigueur qui est sûrement à améliorer...

PS: je suis en L1 CIMP (Chimie Informatique Mathématiques Physique) mais je n'ai pas encore vu les espaces métriques.
Peut être pour bientôt...

Le message d'Erik vous indique quels sont les propriété que doivent vérifier l'application pour pouvoir prétendre à la qualification de distance.

Il faut donc vérifier ces 4 points + le fait que cette application est bien définie sur E, ce que tu as fait en vérifiant que les inverses des nombres strictement positifs sont strictement positifs.

Voilà, à vous....

[invite710179ef]

Rigoureusement on appelle d une distance sur un ensemble E, une application de ExE dans IR+ telle que :

i) pour tout x et y appartenant à E, d(x,y)>= 0
ii) d(x,y)=0 si et seulement si x=y
iii) d(x,y)=d(y,x)
iv) d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)

Bonsoir! je sors tout juste de TS (mais pas encore les résultats du bac, donc je peux encore parler de maths ^^), donc ma question va sûrement paraître ridicule..vous êtes prévenus.

est-ce que " d(x,y)=d(y,x) " (iii) vient de i) ? oula c'est pas très clair comme question... en gros, est-ce que d(x,y)=|y-x| (=|x-y|) ? ça paraît vraiment idiot en fait.. bon bref!
merci, à bientôt

PS je viens de m'apercevoir de la date du post, désolée..! ^^'

[doryphore]

Non, les 4 points cités sont les axiomes de définition d'une distance, ils doivent donc être rigoureusement indépendants logiquement.
Dans ta démonstration, tu supposes que parce que la distance est positive, c'est nécessairement une valeur absolue (ce qui est faux) puis tu te sers de ce que tu connais des valeurs absolues (qui sont des distances) pour montrer une "propriété" sur les distances...
En fait ta démonstration n'a pas lieu d'être et se mord la queue.

[invitec053041c]

Bonsoir.

2/ Montrer que cette distance définit sur la même topologie que la topologie usuelle.

Qu'est ce que cela signifie ? Qu'un ouvet pour "delta" est un ouvert pour ||, et vice versa ?

[invitec053041c]

Pour la non complétude, on peut prendre la suite (Un) avec Un=n
Qui est de Cauchy au sens de delta, mais qui ne converge pas dans ]0;+infini[
Est-ce juste ?

[Romain-des-Bois]

Salut !

Qu'est ce que cela signifie ? Qu'un ouvet pour "delta" est un ouvert pour ||, et vice versa ?

Tout à fait : la topologie c'est les ouverts
T_(X;d) désigne l'ensemble des ouverts de X pour la distance d

Pour la non complétude, on peut prendre la suite (Un) avec Un=n
Qui est de Cauchy au sens de delta, mais qui ne converge pas dans ]0;+infini[
Est-ce juste ?

Très bon exemple


Romain