[Maths] [TS] Équations différentielles 2

[invite3bc71fae]

Dans chacun des cas suivants, résoudre l'équation différentielle:

[invite8241b23e]

C'est gentil de commencer simple !



2quation différencielle du premier ordre à coefficients constants et sans seconde membre, pas de conditions initiales donc :

[invite8241b23e]

-y' + y = 0 <==> y' - y = 0

Pour les mêmes raisons que précédemment :

[invite8241b23e]

7y' + 8y = 0 <==>

Idem pour le type d'équation. d'où :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f886c49]

Juste une petite précision :

ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

[invite97a92052]

Juste une petite précision :

ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

Ca n'apporte pas grand chose de dissocier les cas, non ?
La méthode de résolution est une méthode générale, pas besoin de la "dégénéraliser"

[invite2f886c49]

Ca n'apporte pas grand chose de dissocier les cas, non ?

Ca apporte juste que tu oublies un cas trivial ... Je n'ai pas dit que ça changeait ton résultat.

[invite0982d54d]

on suppose y non nulle par la suite etc ..

Il faut supposer y non nul, car : (on divise par y des deux côtés)




=>

Mais je crois que ceci n'est pas une démonstration (je crois me souvenir que mon prof de math nous avait dis ça).

[invite2f886c49]

Il faut supposer y non nul, car : (on divise par y des deux côtés)




=>

Mais je crois que ceci n'est pas une démonstration (je crois me souvenir que mon prof de math nous avait dis ça).

Atention à ce que tu écris !
Car rien n'est dit quant au signe de y !

De plus, ce n'est effectivement pas une démonstration !

[invite2f886c49]

Voici un exemple recherche des solutions de l'équation différentielle y' = ay (E):

Déja, les application nulles et sont eds solutions de (E)

Pour toute application dérivable sur un intervalle I, il existe une unique fonction z définie sur I telle que sur I on ait y(x) = z(x) (il suffit de prendre z(x) = y(x))

"y solution de (E)" ,
,
, ,

Finalement, les solutions sont les fonctions

[invite3bc71fae]

Quelques petites remarques sur la résolution des équations différentielles.
Tout d'abord, il ne faut pas oublier de préciser l'ensemble de définition maximal des solutions: l'ensemble des solutions fait partie intégrante de la solution. Ici, c'était facile, toutes les solutions était des fonctions définies sur .

Ensuite, quand on précise les solutions, il est bon de distinguer les paramètres et les variables.

Ainsi au lieu d'écrire la solution est , il vaut mieux écrire l'ensemble des solutions est .

Dans la présenation des résultats, il n'y a pas lieu de séparer la fonction nulle des autres solutions...

Une démonstration de ce résultat se fait par existence et unicité:
On constate d'une part que les fonctions définies sur de la forme sont solutions de l'équation.
Ensuite, on considère y une solution quelconque et on s'intéresse à la fonction : on constate qu'elle est dérivable et que sa dérivée est contante et on en déduit qu'elle est forcémment de la forme pressentie.

[invite74b8758e]

Bonjour a tous
j'aimerai savoir si vous aviez des liens qui continnenent des exo Corriger detaillée surtout de math TS s'il vous plait
je suis a 4 de moyenne j'aimerai vraiment arriver a 6 ou 7 le dernier trimestre

mon prochain control portera sur les integrale, la fonction exponentielle et la fonction logarithme
faut que je m(entraine
JE VOUS REMERCI D AVANCE POUR TOUT CE QUE VOUS FAITE

MERCI MERCI

[invitefc60305c]

http://bacamaths.net/
http://www.ac-bordeaux.fr/APMEP/doss...eannalesS.html