Puissances de 2.

[invite21b4790f]

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide pour mes questions c'est sur le chapitre "les bits" (c'est qu'à l'intro). Je m'excuse si je me suis trompée de sujet

Question 1:
Ecrivez la liste de toutes les puissances de 2, de 2 ^-4 à 2 ¹⁶

Question 2: Ecrivez une table de conversion des chiffres hexadécimaux et octaux vers le codage naturel en binaire (4 bits ou 3 bits)

Ce que j'ai réussi à faire:

Question 1: j'ai réussi

Question 2: Alors là un tableau que j'ai pris en note, je ne sais pas si c'est cela. Mais je n'ai pas compris comment ils ont trouvé ce tableau ? (je crois que j'ai mal recopié, j'ai des problèmes de vu et de santé )

B₁₆ B²

0 0000
1 0010
2 0011
3 0100
4 0101
5 0110
6 0111
7 1000
8 1001
9 1010
A 1011
B 1100
C 1101
D 1110
E 1111
F ?

Merci d'avance de votre aide
Bonne soirée
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Vous avez sauté le 0001 = 1 au début (2ème ligne) votre tableau. Du coup, tout est décalé d'une unité.

@+

[invite21b4790f]

Merci de m'avoir corriger Mais comment on a obtenu ce tableau ?

[invite2d7144a7]

Bonjour,

L'éternel problème des bases numériques.

Voici ce que je donne à ceux qui ont oublié comment faire :

Calcul dans différentes bases

Conventions

Dans tout ce document, on va utiliser les notations suivantes:

Le symbole ^ signifie 'élever à la puissance'
par exemple 10^3 signifie 'élever 10 à la puissance 3' c'est à dire 10*10*10 = 1000

Un nombre suivi par
#B est écrit en base 2  (B pour binaire)
#H est écrit en base 16 (H pour Hexadécimal)
sans précision, il est écrit en base 10

Le symbole * signifie 'multiplier'

Dans les calculs, pour les divisions :
  Q signifie Quotient
  R signifie Reste

Rappel : Tout nombre élevé à la puissance 0 (zéro) vaut 1
(10^0 = 2^0 = 16^0 = 1)



Quand nous écrivons un nombre, par exemple 573, cela signifie qu'il est égal à la somme:

  3 * 10^0  = 3*1    =    3
+ 7 * 10^1  = 7*10   =   70
+ 5 * 10^2  = 5*100  =  500
                       -----
                        573
                        
 
On peut transcrire cela dans une autre base, par exemple en base 2

On ne disposera alors que de 2 symboles, 0 et 1.
Les chiffres en partant de la DROITE signifieront :
0 ou 1 * 2^0
         2^1
         2^2
         2^3
         etc...
         
Soit le nombre 1000111101#B, calculons sa valeur en base 10

  1 * 2^0  = 1
+ 0 * 2^1  = 0
+ 1 * 2^2  = 4
+ 1 * 2^3  = 8
+ 1 * 2^4  = 16
+ 1 * 2^5  = 32
+ 0 * 2^6  = 0
+ 0 * 2^7  = 0
+ 0 * 2^8  = 0
+ 1 * 2^9  = 512
            -----
             573
             
On peut utiliser une autre base, 16.
Il nous faut alors 16 symboles pour représenter les différents 'chiffres'.
Par convention, on a choisi d'utiliser 0 à 9, puis A à F

A vaut donc 10 (décimal)
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

Avec le même principe que pour la base 2, voyons le nombre 23D#H

  D * 16^0 =  13
+ 3 * 16^1 =  48
+ 2 * 16^2 = 512
            -----
             573
             
Le passage d'une base quelconque en base 10 est donc très simple.




Voyons maintenant comment passer de la base 10 à une autre, exemple en base 16.

La technique suivante permet de trouver les chiffres successifs en partant de la DROITE.

soit le nombre 573.
Divisons le par la base destination, soit 16
573 / 16 = 35(Q) + 13(R)
  le reste = 13 = D#H est le premier chiffre à droite de la valeur cherchée
  
répétons le calcul avec le quotient du calcul précédent (35)
35 / 16 = 2(Q) + 3(R)
  le reste = 3 = 3#H est le deuxième chiffre en partant de la droite
  
et encore une fois :
2 / 16 = 0(Q) + 2(R)
  le reste = 2 = 2#H est le troisième chiffre en partant de la droite
  
Comme le quotient = 0, on peut arrêter.

Le nombre 573 s'écrit donc 23D#H

En supprimant les commentaires, on obtient une disposition claire:
           
          (Q)   (R)   (R en base 16)
573 / 16 = 35 + 13      D
 35 / 16 =  2 +  3      3
  2 / 16 =  0 +  2      2
  
  On lit les restes de bas en haut = 23D#H
  
  
Refaisons le calcul pour écrire 573 en base 2

          (Q)    (R)
573 / 2 = 286   + 1
286 / 2 = 143   + 0
143 / 2 =  71   + 1
 71 / 2 =  35   + 1
 35 / 2 =  17   + 1
 17 / 2 =   8   + 1
  8 / 2 =   4   + 0
  4 / 2 =   2   + 0
  2 / 2 =   1   + 0
  1 / 2 =   0   + 1
  
  terminé puisque le quotient = 0
  
  et donc en lisant les restes de bas en haut, la valeur est 1000111101#B
  

Voilà, j'espère que c'est assez clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite21b4790f]

Merci pour ta réponse je le lis demain la tête reposée , prions que cette fois si je vais comprendre

[polo974]

et dire qu'on apprenait les bases (de numération) en 4ème...

version courte: on peut compter:

1. soit en alignant des bâtons sur le mur (façon le naufragé qui compte les jours passés), vite limité,
2. soit en utilisant plusieurs chiffres et le report de retenue,
3. soit de plein d'autres méthodes dont on ne parlera pas ici...

revenons à la seconde méthode:
donc en base dix (celle de "tous les jours"), on utilise dix chiffres de 0 à 9, et quant on dépasse 9, on repasse à 0 et on ajoute un retenue de 1 sur la colonne voisine gauche.

en base hexa, il nous faut six "chiffres" en plus des 0 à 9, et comme on avait l'alphabet sous la main, on a pris de A à F. (au-delà de la base 36, ça se complique, mais personne ou presque ne s'en sert, donc on s'en fiche un peu...).

en base deux, on utilise 0 et 1
comme 1 + 1 = deux, et que ça n'existe pas dans notre liste de chiffre, on repasse à 0 et on ajoute une retenue => 10

et 111 + 1 (sept + un) la retenue passe de colonne en colonne jusqu'à trouver une place dispo => 1000 (huit)
(un peu comme 999 + 1 en décimal qui donne 1000 (mille))
(ou comme FFF + 1 en hexa qui donne 1000 (soit en décimal 4096)

l'intérêt de l'hexa est qu'en un chiffre hexa, on représente 4 chiffres binaires (c'est presque lisible et ça prend moins de place...).

[invite21b4790f]

Bonjour,

L'éternel problème des bases numériques.

Voici ce que je donne à ceux qui ont oublié comment faire :

Calcul dans différentes bases

Conventions

Dans tout ce document, on va utiliser les notations suivantes:

Le symbole ^ signifie 'élever à la puissance'
par exemple 10^3 signifie 'élever 10 à la puissance 3' c'est à dire 10*10*10 = 1000

Un nombre suivi par
#B est écrit en base 2  (B pour binaire)
#H est écrit en base 16 (H pour Hexadécimal)
sans précision, il est écrit en base 10

Le symbole * signifie 'multiplier'

Dans les calculs, pour les divisions :
  Q signifie Quotient
  R signifie Reste

Rappel : Tout nombre élevé à la puissance 0 (zéro) vaut 1
(10^0 = 2^0 = 16^0 = 1)



Quand nous écrivons un nombre, par exemple 573, cela signifie qu'il est égal à la somme:

  3 * 10^0  = 3*1    =    3
+ 7 * 10^1  = 7*10   =   70
+ 5 * 10^2  = 5*100  =  500
                       -----
                        573
                        
 
On peut transcrire cela dans une autre base, par exemple en base 2

On ne disposera alors que de 2 symboles, 0 et 1.
Les chiffres en partant de la DROITE signifieront :
0 ou 1 * 2^0
         2^1
         2^2
         2^3
         etc...
         
Soit le nombre 1000111101#B, calculons sa valeur en base 10

  1 * 2^0  = 1
+ 0 * 2^1  = 0
+ 1 * 2^2  = 4
+ 1 * 2^3  = 8
+ 1 * 2^4  = 16
+ 1 * 2^5  = 32
+ 0 * 2^6  = 0
+ 0 * 2^7  = 0
+ 0 * 2^8  = 0
+ 1 * 2^9  = 512
            -----
             573
             
On peut utiliser une autre base, 16.
Il nous faut alors 16 symboles pour représenter les différents 'chiffres'.
Par convention, on a choisi d'utiliser 0 à 9, puis A à F

A vaut donc 10 (décimal)
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

Avec le même principe que pour la base 2, voyons le nombre 23D#H

  D * 16^0 =  13
+ 3 * 16^1 =  48
+ 2 * 16^2 = 512
            -----
             573
             
Le passage d'une base quelconque en base 10 est donc très simple.




Voyons maintenant comment passer de la base 10 à une autre, exemple en base 16.

La technique suivante permet de trouver les chiffres successifs en partant de la DROITE.

soit le nombre 573.
Divisons le par la base destination, soit 16
573 / 16 = 35(Q) + 13(R)
  le reste = 13 = D#H est le premier chiffre à droite de la valeur cherchée
  
répétons le calcul avec le quotient du calcul précédent (35)
35 / 16 = 2(Q) + 3(R)
  le reste = 3 = 3#H est le deuxième chiffre en partant de la droite
  
et encore une fois :
2 / 16 = 0(Q) + 2(R)
  le reste = 2 = 2#H est le troisième chiffre en partant de la droite
  
Comme le quotient = 0, on peut arrêter.

Le nombre 573 s'écrit donc 23D#H

En supprimant les commentaires, on obtient une disposition claire:
           
          (Q)   (R)   (R en base 16)
573 / 16 = 35 + 13      D
 35 / 16 =  2 +  3      3
  2 / 16 =  0 +  2      2
  
  On lit les restes de bas en haut = 23D#H
  
  
Refaisons le calcul pour écrire 573 en base 2

          (Q)    (R)
573 / 2 = 286   + 1
286 / 2 = 143   + 0
143 / 2 =  71   + 1
 71 / 2 =  35   + 1
 35 / 2 =  17   + 1
 17 / 2 =   8   + 1
  8 / 2 =   4   + 0
  4 / 2 =   2   + 0
  2 / 2 =   1   + 0
  1 / 2 =   0   + 1
  
  terminé puisque le quotient = 0
  
  et donc en lisant les restes de bas en haut, la valeur est 1000111101#B
  

Voilà, j'espère que c'est assez clair.

Merci beaucoup pour ta réponse, j'ai tout compris. C'est très bien expliqué ! Je vais m'entrainer

[albanxiii]

Bonjour,

On compte en base 10 parce qu'on a 10 doigts (en fait, je n'en sais rien, mais c'est commode pour ce que je vais dire...).
Imaginez un extra terrestre qui n'a que deux doigts. Il n'a besoin que de deux symboles pour écrire ses nombres, 0 et 1, disons... et ça donne

   0
   1
  10
  11
 100
 101
 110
 111
1000
1001
1010

Maintenant, si on fait pareil avec 16 doigts, on a besoin de 16 symboles , et ça donne 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, ... 1A, 1B, ..1F, 20, 21, ..., 2A, .. 2F, 30, etc.

Après, pour la conversion d'une base à l'autre, c'est tout bête, un nombre en base s'écrit , où les sont les symboles qui représentent le nombre écrit dans la base . Bien sur, ils changent quand on change de base.

@+