Plongement entre deux ensembles

[Phil1313]

Bonjour à tous,

je dois déterminer tous les plongements qui existent de ℘({a, b}) vers ℘({0, 1, 2}).
À ma compréhension, le plongement dépend d'une fonction, non?
Sinon, comment répondre à cette question, il me semble qu'il me manque des informations.

Merci
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[Médiat]

Bonjour,

Quelle est votre définition d'un plongement, en particulier entre ensembles ?

[Phil1313]

un plongement est un homomorphisme de treillis f : S → T (une fonction qui préserve les opérations du treillis) qui est également injectif (pour tout y, il n'y a qu'un X qui relie à ce y)

[Phil1313]

un plongement est un homomorphisme de treillis f : S → T (une fonction qui préserve les opérations du treillis) qui est également injectif (pour tout y, il n'y a qu'un X qui relie à ce y)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Vous pouvez raisonner de deux façons différentes:

1) choisir l'image du vide, qui doit être incluse dans 3 autres éléments, puis les images des singletons …
2) faire ces choix directement sur les graphes (placer celui de gauche sur celui de droite), mais attention, là il y a un petit piège

[gg0]

Bonjour.

Un plongement ne "dépend" pas "d'une fonction" , il est une fonction.

Cordialement.

[Phil1313]

Merci beaucoup,

Je crois que je suis parvenu hier soir, après beaucoup d'essais et erreurs, à une solution

[Médiat]

Combien en trouvez-vous ?

[Phil1313]

Bonsoir, j'en ai trouvé 8, mais il est fort possible que j'ai commis des erreurs. J'aurai le corrigé de l'exercice la semaine prochaine et si cela vous intéresse, je pourrais vous communiquer les résultats. Je vous remercie de votre aide.

[Médiat]

Bonsoir,

J'en compte 18

[Phil1313]

Bon, j'en ai évidemment manqué plusieurs alors!
J'ai un nouveau problème, je ne sais pas si vous pouvez encore une fois m'aider.

Nous avons le treillis T qui peut être plongé dans un treillis distributif D. Montrez qu’on peut alors conclure que T est distributif.

Je comprends que le plongement respecte alors les équivalences suivantes: f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) et f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)
et je suppose que pour montrer la distributivité de T, je devrais montrer que x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) est vrai.
Cependant, je ne sais pas comment construire cette preuve de façon strictement «*formelle*»

Vous pouvez, bien sûr, ignorer ce message si je vous importune avec mes questions.

[Médiat]

Cependant, je ne sais pas comment construire cette preuve de façon strictement «*formelle*»

Il "suffit" d'écrire ce que l'on sait (que vous avez écrit) avec les quantificateurs (avec les plongements, le problème vient des quantificateurs existentiels)

Vous pouvez, bien sûr, ignorer ce message si je vous importune avec mes questions.

Ne vous inquiétez pas, c'est le principe d'un forum que de ne répondre que si on le désire

[Phil1313]

Merci, j'ai tenté de répondre de cette manière, mais je ne sais pas si je suis sur la bonne piste.

Puisque D est un treillis nous savons que la loi de la distributivité : x ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ (x ∧ z) est vraie
Maintenant, je remplace toutes les variables par un plongement dans T (disons que le plongement est e) Nous avons

e (x) ∧ (e (y) ∨ e(z)) = (e (x) ∨ e(y)) ∨ (e (x) ∧ e(z))

Puisque le plongement e supporte ces égalités : e (x ∧ y) = e (x) ∧ e (y), (et similaire pour la disjonction)
je fais les substitutions suivantes:

e (x) ∧ e (y ∨ z) = e (x ∨ y) ∨ e (y ∧ z)

et e (x ∧ (y ∨ z) = e ((x ∨ y) ∨ (y ∧ z))

Ensuite on applique le plongement injectif e pour avoir: x ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ (y ∧ z)

Par contre, je n'ai évidemment pas utilisé les quantificateurs, alors je suis encore probablement dans l'erreur!

[Médiat]

Par contre, je n'ai évidemment pas utilisé les quantificateurs, alors je suis encore probablement dans l'erreur!

Ce n'est pas une erreur (grâce à l'axiome de généralisation), mais je trouve cela moins lisible