asymptotes d'une fonction composée (trinôme et racine carrée)

[invite098de853]

Bonjour!
j'aimerais un ptit coup de pouce.

J'ai la fonction /x²- 6x+5/ (on dit que les / c'est pour symboliser "valeur absolue" !), le tout mis sous une racine carrée. Il faut que je démontre que y=x-3 et y=-x+3 sont asymptotes à la courbe.
J'ai presque honte, c'est sûrement tout bête mais je n'arrive pas à exprimer f(x)-y de telle façon que le résultat obtenu tende vers 0 en + et - l'infini.
Je vous avance: les racines du trinôme c'est 1 et 5 et x=3 est axe de symétrie de la courbe.

Merci de votre aide!

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[Jeanpaul]

Connais-tu les développements limités ? Ca aide bigrement pour les questions d'asymptotes.

[invite098de853]

Non j'en ai jamais entendu parlé. Ca ne m'aidera pas tellement pour mon devoir, mais c'est quoi en gros les développements limités? quel est le principe? (simple curiosité...)

[Jeanpaul]

Ben, les développements limités, c'est précisément ça : trouver une approximation (linéaire par exemple) d'une fonction au voisinage d'un point ou de l'infini.
Dans ton cas, il ne te reste plus qu'à faire la différence entre ta fonction et l'asymptote. Mets x en facteur dans la racine et sors-le du radical (en n'oubliant pas que racine (x²) égale, égale...
Ensuite, essaie de multiplier haut et bas (x - racine) par le conjugué (x + racine).
Mais sans développement limité, c'est la galère assurée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite098de853]

Ah si c'est la méthode que j'emploi d'habitude mais pas sous le même nom c'est tout!
Alors une fois que j'ai mis racine (x²) en facteur ce qui fait... hum... x je crois..! hé hé
bin là je vois pas quoi faire. Pourquoi tu parles des conjugués? bon moi j'ai donc x (-1 + 6/x - 5/x²) -x + 3
(à l'intérieur des racines 1 et 5 le trinôme est en fait égal à -x²+6x-5 puisque l'on prend sa valeur absolue et que sur l'intervalle ]1;5[ il est négatif)
et là j'ai pas d'idée..

[Jeanpaul]

Racine de x² n'est pas toujours égal à x, c'est là le truc. Ta fonction ne se comporte pas pareil en + et en - infini.
En + infini, tu prends la différence entre ta fonction et l'asymptote présumée y = x - 3
Tu obtiens donc racine (..) - (x-3) qui est une forme indéterminée infini - infini.
Pour te sortir de là sans développement limité, tu multiplies en haut et en bas par racine(..) + (x-3) et là, tu devrais voir que ce n'est plus une forme indéterminée et que ça tend vers zéro.

[invite098de853]

J'me disais aussi... jsuis pas très en forme en ce moment moi!
Bin merci pour ton aide, c'est sympa!