X = x + 1/x ???

[Stevou]

Bonjour.
Dans un exercice, il fallait poser X = x + 1/x avec x différent de 0 afin de calculer une équation.

On trouvait 2X² - 9X + 4 = 0. J'avais vu que c'était un trinôme du second degré alors j'ai posé delta = -b² + 4ac.

J'ai trouvé X1=4 et X2= 1/2

Le seul problème, c'est pour passer de X à x, car je dois calculer :
_ 4 = x + 1/x
_ 1/2 = x + 1/x

J'ai essayé, mais je bloque toujours vers la fin.
Par exemple, j'ai :
X = x + 1/x
4 = x + 1/x
4 - x = 1/x
4x - x² = 1
x - x² = 1/4
-(x² - x) = 1/4
Et là, j'ai tenté la forme canonique :
-[(x - 1/2 x)² - 1/4 x²] = 1/4
-(x - 1/2 x)² + 1/4 x² = 1/4
-(x - 1/2 x)² = 1/4 - 1/4 x²

Mais à partir de là, je ne sais pas comment faire pour enlever le ² de la première partie pour trouver toutes les solutions possibles dans la deuxième...
Quelqu'un pourrait me diriger sur la bonne voie?
Merci.
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[Coincoin]

Salut,
Pourquoi tu passes par la forme canonique et pas par le discriminant ?

[Romain-des-Bois]

Salut,

4x - x² = 1

Et ça, qu'est-ce que c'est ???

N'aurais tu pas une méthode de résolution ?





Romain

[Stevou]

Salut,
Pourquoi tu passes par la forme canonique et pas par le discriminant ?

Le quoi?

Salut,

Et ça, qu'est-ce que c'est ???

N'aurais tu pas une méthode de résolution ?

Romain

Ah, mais oui, quel idiot...

4x-x²=1
-(x²-4x)=1
-[(x-2)²-4]=1
-(x-2)²=-3
(x-2)²=3
x-2=racine 3 ou x-2= - racine 3
x= racine3 + 2 ou x= -racine3 + 2

C'est ça?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

Directement tu peux dire :
on a 4x-x²=1
donc -x²+4x-1=0
c'est un équation du second degré, qu'on peut résoudre comme d'abitude:
delta=4²-4=12 et

ou


On retrouve bien tes résultats, sauf que tu te fatigues à ne pas utiliser les formules (ultra connue) de résolution d'une équation du second degré.

[Stevou]

D'accord. C'est vrai que c'est plus simple.

Donc, pour 1/2, cela donne :
X = x + 1/x
1/2 = x + 1/x
1/2 - x = 1/x
1/2 x - x² = 1
-x² + 1/2 x - 1 = 0

delta = b² - 4ac
= 1/4 - 4 x (-1) x (-1)
=1/4 - 4
=1/4 - 16/4
=-15/4

Comme delta<0, pas de racines.

Donc, les seules solutions sont 2 + racine3 et 2 - racine3
Merci

[Coincoin]

Juste pour info, le discriminant, c'est delta...

[Stevou]

Merci Coincoin, je tâcherais de m'en souvenir