Exo dur sur les fonctions niveau seconde

[invitec453a19c]

bonjour ,
Je vous expose mon sujet.
ABC est un rectangle en tel que AB = 6cm et AC = 8 cm. Soit M un point variable du segment [AB]. On pose AM = x.

1-Construire le rectangle AMNP avec N[BC] et P[AC] .
2-En utilisant le theoreme de Thales demontrer que MN = 8-(4/3)x
3-On designe par f(x) le perimetre du rectangle AMNP
a) Quel est l'ensenble de definition de f ?
b) Donner une expression de f(x) en fonction de x


4-On designe par g(x) l'aire du rectangle AMNP.
a) Donner une expression de g(x) en fonction de x et verifier que
g(x) = -(4/3)(x-3)² + 12
b) Tracer la courbe representative de la fonction g dans un repere orthogonal.
c) Conjecturer où doit se trouver le point M pour que l'aire du rectangle AMNP soit maximale. Demontrer cette conjecture.
Merci de votre aide.

mes reponses:

pour la question 2):Thalès donne :
MN/AC=BM/BA mais AC=8 ; BM=6-x; BA=6

Donc MN/8=(6-x)/6-->produit en croix

MN=[8(6-x)]/6=(48-8x)/6=48/6 - 8x/6=8-8x/6=8 - 4x/3

pour la question 3)a):
on commence l'intervalle par 0. Pour trouver la fin de l'intervalle on fait 8 / (4/3)= 6
donc Df = [0;6]

pour la question 3)b):
f(x)= (8-(4/3)x)2+x2 on utilise la distributivite
= 2*8+2*(-4/3)+2*x+2x
= 16-(8/3)+4x

est-ce que mes reponse sont juste?
Merci de votre comprehension
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[Duke Alchemist]

Bonjour et bienvenue.

f(x)= (8-(4/3)x)2+x2 on utilise la distributivite
= 2*8+2*(-4/3)+2*x+2x
= 16-(8/3)+4x

Là, je ne suis pas d'accord sur la distributivité...

Le reste m'a l'air correct.

Duke.

EDIT : Pour la 3.a, il suffit de dire que M appartient à [AB], x est compris entre 0 et 6, non ?

[invitec453a19c]

Je ne comprend pas pour la question 4)a)

[invitec453a19c]

pour la question 3)b):

f(x) = (8-(4/3)x)2+x2 on utilise la double distributivité
=16-(8/3)x+2x
=16-(8/3)x+(6/3)x
=16-(2/3)x

est-ce que cela est juste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Oui pour le 3b

Maintenant, pour le 4a, il suffit d'exprimer l'aire du rectangle dont tu connais les deux côtés et en arrangeant un peu tu dois trouver la fonction g(x)

[invitec453a19c]

c'est bon j'ai comprit:

4)a)g(x)= AM*MN = x*(8-(4/3)x)
g(x) = x*8 + x*(-4/3)x
= 8x + (-4/3)x²

g(x) = (-4/3)*(x-3)²+12
= (-4/3)*(x²+9-6x)+12
= (-4/3)*x²-(-4/3)*9-(4/3)*-6x+12
= (-4/3)x²-12+(24/3)x+12
= (-4/3)x²+(24/3)x
= (-4/3)x²+8x

[Duke Alchemist]

Ca marche...

Tu peux aussi faire apparaître le carré de x-3 dans la relation obtenue au cours du premier "calcul"... mais ça demande plus de rigueur.

[invitec453a19c]

pour la question 4)c):
je ne voit pas comment trouver une hypotese
merci de ton aide

[invitec453a19c]

il y a encore quelques questions:
5)On designe par h(x) la longueur du segment [MP].
a)Donner une expression de h(x) en fonction de x.
b)A l'aide de votre calculatrice graphique, donner une valeur approchéé de la valeur x qui rend h(x) minimale.
c)En justifiant que MP = AN. Preciser la position du point N correspondant à h(x) minimum et faire une figure correspondant à cette situation.
d)Démontrer que dans ce cas. BC*AN = AB*AC. En déduire AN, puis BN.
e)Justifier qu'alors BN*AN = AB*MN. En déduire MN, puis la valeur exacte du nombre x correspondant. Comparer avec la valeur obtenue en 5)b).

[Duke Alchemist]

Sans doute à partir de la courbe, non ?

La démo peut se faire à partir de la relation g(x) = -(4/3)(x-3)² + 12
sachant qu'un carré est toujours positif, quelle sera la valeur maximale obtenue pour g(x) ?
et combien vaut x dans ce cas ?

[invitec453a19c]

g admet en 3 un maximum egale à 12 sur [0;6].
Donc il faut remplacer g(3) = 12
g(3) = -(4/3)(3-3)² + 12
= -(4/3)*0+ 12
= 12

merci mais je ne sais pas s'il faut l'expliquer comme cela.
Merci de ton aide

[Duke Alchemist]

Ca m'a l'air bon pour le principe... N'oublie de faire une remarque concernant la position du point M dans ce cas

Pour le 5, applique d'abord le théorème de Pythagore dans un premier temps puis pour la suite utilise la calculatrice comme c'est proposé et enfin pour terminer c'est de la déduction...

Duke.

[invitec453a19c]

Pour la 3.a x est compris entre 0 et 8 car l'ensemble de definition c'est l'absicce donc si M est sur le point A alors
Df = [0;8]. non?

[Duke Alchemist]

Je croyais que c'était réglé cette histoire ?!?
C'est tout simplement l'ensemble des abscisses des points compris entre A et B càd ce que tu avais trouvé x appartenant à [0;6]...

[invitec453a19c]

Pour la 3)a) x est compris entre 0 et 8, l'ensemble de definition c'est les absicces, et si M est sur le point A alors Df = [0;8],non?

[invitec453a19c]

OK d'accord

[invitec453a19c]

5)a) h(x) = (8-(4/3)x)²+x²
h(x) = 64+(16/9)x²-(64/3)x+x²
je ne sais pas si je l'ai reduit au maximum?

[Duke Alchemist]

Regroupe les x²

[invitec453a19c]

g(x) = 64+(16/9)2x²-(64/3)x

[invitec453a19c]

MP² = 64+(16/9)2x²-(64/3)x
MP = racine carée de (64+(16/9)2x²-(64/3)x)

[Duke Alchemist]

Hein ???
Celle du message #17 est bonne mais pas la dernière

[invitec453a19c]

MP² = 64-(64/3)x+(16/9)x²+x²
MP = racine carée de (64-(64/3)x+(16/9)x²+x²)

[Duke Alchemist]

si tu veux mais 16/9 + 1 = 25/9.
Il n'y a pas d'intérêt à écrire MP = ...
Reste avec g(x) = ...

[invitec453a19c]

le resultat n'est pas
h(x) = racine carée de (64-(64/3)x+(16/9)x²+x²)

[invitec453a19c]

h(x) = = 8-racine carée de(64/3)x +(4/3)x+x

[invitec453a19c]

3)b)une valeur approchéé de la valeur x qui rend h(x) minimale est 3.84 mais je ne sais pas si je doit le justifier car il ne le demande pas

[invite35452583]

si tu veux mais 16/9 + 1 = 25/9.
Il n'y a pas d'intérêt à écrire MP = ...
Reste avec g(x) = ...

Salut,
pou60 tu devrais mieux lire les posts, un autre te duisait de regrouper les x² là Duke t'aide bien.

h(x) = = 8-racine carée de(64/3)x +(4/3)x+x

n'est pas égal à (essaie avec des valeurs pour t'en convaincre)

donc pour 5)a) :
i)regroupe les x² avec l'aide fournie
ii) laisse tranquille cette racine carrée !

5)b) j'espère que tu sais manipuler ces engins, (comptes pas sur moi pour t'aider sur cette question )

5)c) minimiser h(x) revient à minimiser AN (ne cherche pas midi à 14h et ça ira)
La figure est facile à faire si tu as trouvé N.

5)d) et e) indice pour montrer les égalités : calculer de deux manières différentes l'aire d'un triangle bien choisi.
5)d) AN évident, BN (je suis sûr que tu vas vite voir quel est le théorème à utiliser)
5) calcul de MN évident, pour le calcul de x utilises une des premières questions du problème. ( celle qui donne MN en fonction de x, petite équation à résoudre)

[Jeanpaul]

3.84 n'est pas une valeur approchée : c'est la valeur exacte (96/25). Pourquoi ne pas le dire ? Même si tu n'as jamais appris les dérivées, tu peux comprendre que l'extrémum (maximum ou minimu) de la fonction ax² + bx+c est atteint quand x = -b/2a.

Ensuite il te reste la question géométrique : tu as dû voir que MP = AN (ce n'est jamais qu'un rectangle).
Comme N se promène sur BC, tu dois deviner assez vite quand la distance AN est la plus faible (c'est la hauteur tracée depuis A).
La relation AN*BC = AB*AC devrait t'inspirer (c'est quoi le produit base*hauteur ?)
La dernière question est un peu plus délicate. Si tu regardes les triangles BMN et AMN, ils sont semblables (mêmes angles) et la relation demandée est la proportionnalité entre les côtés. Je ne sais pas si tu sais faire ça.

[invitec453a19c]

h(x)²= 64+(16/9)2x²-(64/3)x
h(x) = 8-(64/3)x +(4/3)x+x
ce resultat n'est pas bon.
excuse moi mais je ne comprend pas ton explication

[invitec453a19c]

une valeur approchéé de la valeur x qui rend h(x) minimale est environ 3.8