[TS] Petit coup de main sur les suites adjacentes!

[invite56f9e53c]

Bonjour bonjour!

Alors voilà j'ai du mal à prouver que deux suites son adjacentes, enfin surtout à prouver que la difference de leurs limites est nulle. Voici l'énoncé:

Les suites (Un) et (Vn) sont définies sur N par:

U₀=1 ; V₀=2
U_n+1= ; V_n+1=

1) Démontrer qu'il existe un réel k tel que, quelque soit n :
V_n+1-U_n+1=k(V_n-U_n)

Ca c'est fait je trouve k= 1/4 !

2)Prouver par recurence que pour tout n U_n<V_n

Pareil c'est fait

3) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.

La ça coince

Alors j'ai prouver que Vn>Un , que (Un) etait strictement croissante et majoré par V₀ et (Vn) strictement décroissante et minoré par U₀
J'en conclue que ces deux suites sont donc convergentes.
Mais ça ne suffit pas à prouver qu'elles sont adjacentes non? Si quelqu'un pouvait me filer un coup de main pour me dire où cherchais sa serait sympa!
Merci d'avance
Moltinou!
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[kNz]

Bonjour,

Réfléchis bien à ce que tu as trouvé à la question 1

[invite56f9e53c]

Faut-il partir avec cette relation:

V_n-1-U_n-1< 1/4(V_n-1-U_n-1)?

[kNz]

Quelle est la nature de la suite (v-u) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f9e53c]

Géométrique de raison 1/4 ? Mais je ne vois pas ce que je pourrait en sortir pour etudier la limite de Vn-Un

[kNz]

Que sais-tu de la convergence d'une suite géométrique selon sa raison ?

[invite56f9e53c]

Si on appele Zn la suite definie par (Vn-Un) on peut dire que Zn=1/4ⁿ.

Or si la raison de cette suite est comprise entre ]-1,1[, ce qui est notre cas, elle converge vers 0.

On aurait donc lim(Vn-Un)=0 et avec ce que j'ai déjà démontrer elle seraient adjacentes?

[kNz]

Et ba faut croire, pour que des suites soient adjacentes, tu as besoin de l'une strictement croissante, l'autre strictement décroissante, et la suite définie par la différence des 2 qui converge vers 0.

Donc c'est bon

[invite56f9e53c]

Comme j'ai déjà démontrer que (Un) etait croissante et que (Vn) décroissante et avec ton coup de main c'est bon!

Merci beaucoup de m'avoir aider kNz et bonne journée à toi!