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Méthode pour une simple équation différentielle [TS]

  1. ZaKaR

    Date d'inscription
    mai 2007
    Âge
    27
    Messages
    14

    Méthode pour une simple équation différentielle [TS]

    Bonjour à tous
    J'aimerais simplement m'assurer que ma méthode pour les équations etait correcte (étant donné qu'ils semble y avoir plusieurs méthodes à travers la france!)

    Je propose l'énoncé suivant :

    ______________________________ ________

    Lorsqu'on injecte dans le sang d'un malade une quantité Q(0) d'une substance médicamenteuse, celle-ci est progressivement éliminée, à chaque instant t (exprimé en heures), avec une vitesse proportionnelle à la quantité restante Q(t) de cette substance. On a donc :

    Q'(t) = -aQ(t) (où a est une constante strictement positive)

    1. Exprimer Q(t) en fonction de Q(0), a et t.

    2. On suppose que Q(0) = 50 mg . L-1.

    Au bout d'une heure, il ne reste plus que 25 mg . L-1 de substance médicamenteuse dans le sang du patient.
    Calculer a.

    ______________________________ ________


    J'ai pris juste le début de l'exercice.



    Résolution:


    1) On a , Q'(t) = -aQ(t). L'équation différentielle est de la forme y' = -ay , l'ensemble des solutions de Q(t) sur R est l'ensemble des fonctions f définies par f(x) = Ce-at ou C est une constante réele.

    Donc Q(t) = Ce-at

    a t=0 , on a :


    Q(o) = Ce0 = C

    On remplace dans Q(t) :


    Q(t) = Q(0)e-at


    2) Au bout d'une heure, il ne reste plus que 25mg . L-1.
    On a donc : Q(1) = 25

    Or Q(1) = 50e-a.

    Donc :
    25 = 50e-a

    = e-a

    e-a =

    a = -ln()

    a = -ln(1) + ln(2)

    a = ln(2)

    car -ln(1) = 0


    Voila , merci de me dire simplement si j'ai commi une enorme "Horreur" ou même un "Délire sans nom" afin que je puisses bien comprendre ce qui ne vas pas dans la rédaction.



     


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  2. Romain-des-Bois

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    27
    Messages
    3 846

    Re : Méthode pour une simple équation différentielle [TS]

    Tout est bon

    Romain
     


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