[TS] encadrement d'une fonction

[invitedbdf29da]

Bonjour!! j'ai un petit souci avec un DM si vous pouviez me lancerme mettre sur la piste ...
Encadrement d'une fonction::

f(x) definie sur [0; Pi/2] par f(x)= cos(x)-1(x²/2)-(x^4/24)

f',f'',f'''?

f'(x)= -sin(x)+x-(x/6)
f"(x)= -cos(x)+7/6
f'''(x)=sin(x)

je pense que jusque la c'est bon??

2°)a)
g(x)=sin(x)-x x appartient a [0;Pi/2]

etudier g?

g decroissante sur 0; Pi/2 avec comme limite 0 et -1

montrer que sin(x)<x
celà c'est bon aussi...

3a)tabl de variation de f" [0;Pi/2]

f"' +
f" croissante avec comme limite 1/6 et 7/6

3b) c'est la que je bloque avec la suite


en déduire le signe de f"(x) et le tableau de variation de f' et f

le signe de f" c'eest logiquement + non??
donc f' croisante mais je trouve sa limite a 0- et environ 0.3
sa me bloque la suite...
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[invite6ed3677d]

Bonjour,

1) J'ai un doute sur ta fonction ... c'est quoi le 1 qui traine devant le second terme ?
Si la fonction est
,
les dérivées sont fausses.

2) Es-tu sur de la limite de g en pi/2 ?

3) ... ca dépend de la question 1 ... tu peux préciser/confirmer f ?
Les questions sont liées donc g(x) va apparaitre à un moment ou un autre dans les calculs concernant f ...

[invitedbdf29da]

re:
ma fonction est ecrite sur le papier comme ceci : f(x)= cos x-1+x²/2-x^4/24

ma limite en g(x) me donne0 et -1 mais avec la fonction du haut mais pour moi la fonction du haut veut dire : f(x) cos(x)-1+(x²/2)-(x^4/24) je me suis peut etre tromper avec le -1 mais il y est c'est sur...
merci

[invite6ed3677d]

f(x)= cos x-1+x²/2-x^4/24

Ah !, il y avait pas le + après le 1 ... mais ca ne change rien aux dérivés !

Bon alors, reprenons ...
Ton f'(x) est faux. Fais attention à la dérivée du dernier terme.
Pour la limite de g(x) en pi/2, c'est pas -1.
sin(x) tend vers ... et -x tend vers ... donc g(x) tend vers ... il n'y a pas de piège.
La limite en 0 est bonne.

Pour la question 3, il faut revoir tes résultats de la question 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbdf29da]

Merci je revinedrai un tit peu plus tard pour dire ce que j'ai trouver et je te ferais signe

UN GRAND MERCI

[invitedbdf29da]

f'(x)= -sin(x)+x-(1/6)x^3
f"(x)= -cos(x)+1-(x²/2)
f'''(x)=sin(x)-x

g(x)decroissante entre 0 et1-(Pi/2)

f" decroissante entre 0 et 1-(Pi/8)

f' decroissante entre 0 et -1+(Pi/2)-(Pi^3/48)

f decroissante entre 0 et -1+(Pi/8)-(Pi^4/384)

on me demnade ensuite de déduire les encadrement suivat avec x [0;Pi/2]

x-(x^3)/6 <sin x< x

1-(x²/2)< cos x< 1-x²/2+x^4/24

comment dois-je procédé?? avec les limite je pense mais ou??
merci

[invite6ed3677d]

Ok pour les dérivées

g est décroissante sur l'intervalle et son maximum est nul donc, elle est négative (ou nulle). Mais g(x)=f'''(x) donc f'' est décroissante. Tu peux regarder ses limites pour trouver son signe.

Une fois que tu as le signe de f', tu peux obtenir la première inégalité.

[invitedbdf29da]

je ne comprend pas exactement le cheminement a suivre j'essaye mais je ne suis vraiment pas sur du tt...

[invite6ed3677d]

Il faut remarquer que g et f''' sont identiques.
Ensuite, tu as vu que g est décroissante et que sont maximum est 0 donc, elle est négative.
f''' est négative donc f'' est décroissante.
On va essayer de trouver le signe de f'' (de la même manière ?) puis on en déduira les variations de f'. On étudiera son signe et on en déduira les variations de f puis son signe (c'est un peu répétitif non ? )

Une fois qu'on aura le signe de f et celui de f', on pourra écrire deux inégalités et les bidouiller pour obtenir les encadrements qu'on recherche.

[invitedbdf29da]

oui c bon j'ai trouvai vue qu on qu'elles sont tte plus petite que 0 on n'arrive a se debrouiller sa oki lol..bon la derniere question porte sur le theoreme des gendarmes on verra bien lol

[invitedbdf29da]

merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

[invite6ed3677d]

merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

de riiiiiiiiiiiiiiiiiiien !