f(x)=sup(2x-1.4x+5) qu'est-ce que ça veut dire?

[neokiller007]

Salut,

J'ai un exercice avec des fonctions bizarre:

Soit un réel. Déterminer selon les valeurs de , le nombre de solution de l'équation f(x)= où:

f(x)=sup(2x-1.4x+5)
f(x)=inf(x+3.2-x-3)

Je ne comprend pas ce que veulent dire le sup et le inf.

Quelqu'un peut m'expliquer?

Merci.
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[nissart7831]

sup(a, b) exprime le supérieur entre a et b c'est-à-dire la valeur la plus grande entre a et b.

Par exemple, sup(-2,5) = 5 et sup(-6,-1) = -1.

Mais les a et b, peuvent exprimer des fonctions.

Ainsi sup(u(x), v(x)) est la plus grande valeur entre u(x) et v(x).

Suivant les fonctions u et v, cette valeur va dépendre de x.

Par exemple, si u(x) = x et v(x) = x/2 alors
sup(u(x), v(x)) = u(x) = x si x0
sup(u(x), v(x)) = v(x) = x/2 si x négatif

donc quand on te pose f(x) = sup(u(x), v(x)), cela veut dire qu'il faut déterminer suivant les valeurs de x si f(x) vaut u(x) ou v(x). Cela revient donc à comparer u(x) et v(x).

Ainsi tu pourras en déduire le nombre de solutions de l'équation f(x) =

Même type de raisonnement pour inf en sachant que inf représente la valeur inférieure entre deux valeurs.

[neokiller007]

Ok, j'ai compris.

Mais je crois qu'il y a plus simple pour répondre à la question:

f(x)=sup(2x-1,4x+5)
2x-1 et 4x+5 sont des fonctions affines, donc strictement monotones sur R
Donc f(x)= n'admet qu'une solution pour tout

f(x)=inf(x+3.2,-x-3)
x+3.2 et -x-3 sont des fonctions affines, donc strictement monotones sur R
Donc f(x)= n'admet qu'une solution pour tout

C'est juste?

Sinon j'ai deux autres fonctions, je ne sais pas si j'ai juste:
f(x)=-2|x+3|+3|x-1|+2x

Pour x € [1;[:
f(x)=-2(x+3)+3(x-1)+2x
f(x)=-2x-6+3x-3+2x
f(x)=3x-9

Pour x € ];-3]:
f(x)=-2(-x-3)+3(-x+1)+2x
f(x)=2x+6-3x+3+2x
f(x)=x+9

Pour x € [-3;1]:
f(x)=-2(x+3)+3(-x+1)+2x
f(x)=-2x-6-3x+3+2x
f(x)=-3x-3

Donc si € [-3;1] il y a trois solution.
si € ];-3]U[1;[ il y a une solution.


f(x)=+|3x-1|+|2x|
Et là je vois pas du tout...


Sinon le reste j'ai juste?

Je doute parce que normalement on doit utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

[nissart7831]

Ok, j'ai compris.



f(x)=sup(2x-1,4x+5)
2x-1 et 4x+5 sont des fonctions affines, donc strictement monotones sur R
Donc f(x)= n'admet qu'une solution pour tout

f(x)=inf(x+3.2,-x-3)
x+3.2 et -x-3 sont des fonctions affines, donc strictement monotones sur R
Donc f(x)= n'admet qu'une solution pour tout

C'est juste?

Faux.

Exemple : soient les fonctions affines u(x) = x et v(x) = -x, f(x) = sup(u(x), v(x)) = admet deux solutions pour tout x non nul.

Pour que ta condition marche il faut que la stricte monotonie soit dans le même sens i.e. toutes les 2 strictement croissantes ou toutes les deux strictement décroissantes.

Donc, tu n'échappes pas à un peu mieux étudier les 2 cas et mieux les expliciter. Ce qui n'a rien de compliqué pour autant.


Je n'ai pas regardé le reste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[neokiller007]

Pour que ta condition marche il faut que la stricte monotonie soit dans le même sens i.e. toutes les 2 strictement croissantes ou toutes les deux strictement décroissantes.

Ah oui je n'y avais pas pensé.

Donc:
f(x)=sup(2x-1,4x+5)
2x-1 et 4x+5 sont des fonctions affines croissantes, donc strictement monotones sur R
Donc f(x)= n'admet qu'une solution pour tout

f(x)=inf(x+3.2,-x-3)
x+3.2 et -x-3 sont des fonctions affines , donc strictement monotones sur R
Et x+3.2 est strictement croissante et -x-3 et strictement décroissante.
Donc f(x)= admet deux solutions pour € R^* et une solution pour = 0.

[nissart7831]

Ah oui je n'y avais pas pensé.

Donc:
f(x)=sup(2x-1,4x+5)
2x-1 et 4x+5 sont des fonctions affines croissantes, donc strictement monotones sur R
Donc f(x)= n'admet qu'une solution pour tout

f(x)=inf(x+3.2,-x-3)
x+3.2 et -x-3 sont des fonctions affines , donc strictement monotones sur R
Et x+3.2 est strictement croissante et -x-3 et strictement décroissante.
Donc f(x)= admet deux solutions pour € R^* et une solution pour = 0.

Si c'est la 1ère fois que tu abordes cela, je pense que c'est un peu léger comme démonstration. Il faut peut être que tu montres ces résultats (toutefois je ne sais pas ce qu'attend ton prof, mais je pense que ce ne sera pas inutile pour toi).
La preuve, c'est que ton 1er raisonnement était faux, parce que as affirmé des choses que tu n'as pas montrées.

C'est vrai que quand on a l'habitude, cela peut suffire parce qu'on saurait le démontrer.

Dans ton cas, il serait peut être utile de montrer pourquoi il n'y a qu'une ou 2 solutions suivant le cas en explicitant par exemple les solutions dans chaque cas suivant la valeur de .