Arithmétique (pgcd) Spec math terminal S

[inviteeaa34279]

Bonjour à tous, j'ai un exo de spécialité maths à faire pour lundi, et je suis complètement perdu, je ne sais absoluement pas par où commencer!
voici l'exercice:

On considère deux entiers naturels non nuls x et y premiers entre eux.
On pose: S=x+y P=xy

Dans la 1 ere question , on demontre par un raissonement par l'absurde que x et S et y et S sont premiers entre eux

Je bloque sur la suite la question est:

En raisonnant par l'absurde démontrer que S=x+y et P=xy sont premiers entre eux.
Il y a une aide en bas de la page, ça commence par:
S et P ne sont pas premiers entre eux, il existe un diviseur c>1 de S et P donc de Sx et P, donc de PGCD(Sx;P)...
Alors, je comprends le raisonnement mais je ne vois absolument pas que veut dire Sx??? Si quelqu'un comprend ou le livre veut nous emmener je suis preneur!
Je bloque aussi sur la suite de l'exercice qui est :
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l'un pair l'autre impair)

2/Trouver les nombres premiers entre eux X et Y tels que SP=84
3/ Determiner les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a+b=84 Et ab=d³ avec d=PGCD(a;b)


Merci par avance
Cordialement
Pancement
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[inviteeaa34279]

Up (aidez moi svp j'ait toujours pas trouver )

[invite35452583]

Sx signifie S fois x soit (x+y)x.
Tu vois apparaître xy=P ça permet d'écrire pgcd(Sx,P) comme un autre pgcd qui permet de montrer que c divise x. Tu peux faire la même chose avec Sy, tu en déduis que c divise y. Et de là tu en déduis que c=1 et donc pgcd(S,P)=1.
c) tu opeux le faire cas par cas : x pair y impair, ximpair y pair, x et y impair (justifier que le cas x et y pairs est exclu) puis regarde la parité de S et de P dans chaque cas pour constater qu'ils toujours de parités différentes.
2) SP=84 décompose 84 en tous les produits possibles, élimine ceux pour lesquels les deux facteurs ne sont pas premiers entre eux, pour les autres tu as des candidats pour S et P justifie que P>S donc P est le plus grand des deux facteurs, tu as des candaidats pour S=x+y et P=xy x et y sont alors solutions de l'équation z²-sz+p de discriminant s²-4p il faut que celui soit un carré parfait pour espérer des solutions entières (regarde la formule des racines d'un trinome du second degré). Teste cas par cas et quand tu tombes sur un carré parfait tu résouds en entier.