Equation & congruence !

[invitedf60503e]

Enoncé :

Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 5^n dans laquelle a appartient à N, n appartient à N et n plus grand ou égal à 2.

a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.

b) On pose n = 2p, démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que
a² + 9 soit une puissance entière de 5.


Donc par rapport à cela dans la question a), moi je serai parti sur le fait d'étudier la congruence de chaque membre de l'équation, et de prouver qu'elle n'est pas la même, mon problème est le " si n est impair", je pige pas trop !

Et pour la question b, je bloque !

Merci d'avance pour vos conseil et aide !
-----

[invitedf60503e]

SVP des pistes ! Vraiment j'ai besoin d'aide sur ce truc, je me déchire la tête je trouve vraiment pas !

Je part de 5 congru à 2 (modulo 3), mais bon après je bloque vraiment !

SVP

[GalaxieA440]

Je m'y attèle dès que j'ai fini de manger ...
mais je ne promet rien

a tout de suite

[invitedf60503e]

Mercii, je vais avoir besoin de ton aide ! lol Je vais m'abstenir de manger je suis trop à fond dessus, mais ça donne rien, je decolle pas de ma premire formule, le rest n'aboutit pas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[GalaxieA440]

Ba la je suis en train de réviser la spe moi aussi donc des exos c'est ce qu'il ya de mieu

envoi moi ton msn par MP si tu veux, comme ça ce sera plus pratique, on postera ici la solution finale si on la trouve ^^

a tte de suite, j'ai peut être une petite piste, mais bon....

[invite2220c077]

Salut !

Bon, premièrement, essaye de trouver une régularité sur les résidus de 5^n mod 3.

5 = -1 [3]
5² = 1 [3]

...

A toi d'en déduire une relation en fonction de n, et voir ce qu'il se passe suivant la parité de cette variable.

Ceci fait, ton idée était correcte d'étudier les congruences de chaque terme de l'équation. (pour ta question a) ).

Pour la question b), puisque tu as prouvé que n impair était impossible, alors les solutions sont (si elles existent, en tout cas d'après l'énoncé, il existe un n, et il est unique) sont forcément données lorsque n est pair, i.e, n = 2p, p € N. En remarquant que et 9 = 3², alors l'équation se résoud les doigts dans le nez

Bonne chance, et n'abandonne pas !

[invite2220c077]

et 9 = 3²

rajoute aussi 9 = 9 * 1, qui te sera d'une plus grande aide en fait ... mais faut traiter les 2 cas pour prouver que a est unique

[GalaxieA440]

Question 1

j'ai montré que a²+9 congrue 0 ou 1 modulo 3

et on observe que 5^n avec n impair congrue toujours 2 modulo 3
donc comme il ne congrue pas à la mm chose, il ne sont pas congruent, donc pas égaux (dites moi si j'abuse la ???)

Le tout est de montrer que 5^n congrue 2 modulo 3.
Je pensais le faire en nottant n impair = (2k+1)

Mq 5^(2k+1) congrue 2 [3]

[invite2220c077]

Question 1

j'ai montré que a²+9 congrue 0 ou 1 modulo 3

C'est correct.

et on observe que 5^n avec n impair congrue toujours 2 modulo 3

Pas tout à fait. On a 5^n = 2 ^n [3], puisque 5 = 2 [3] mais en fait, avec cette écriture, on ne va peut pas conclure grand chose ... Parcontre on a aussi 5 = -1[3], avec ça, il faut chercher une régularité des résidus mod 3 en fonction de n (et surtout de sa parité) pour conclure.

[GalaxieA440]

C'est bon je pense avoir réussi.

Si je note 5^(2k+1), je peux le noter (5²)^k +5
La congruence de ce truc est facile à étudier modulo 3, et donc on peut montrer que 5n avec n impair n'est pas congru au premier terme.

Vrai ou faux ?

[invite2220c077]

C'est bon je pense avoir réussi.

Si je note 5^(2k+1), je peux le noter (5²)^k +5

Faux !

[GalaxieA440]

oui oui pardon
c'est ce que je voulais noter

et donc la congruence de ce truc modulo 3 est 2 c'est clair et net

[invite2220c077]

On a 5^n = -1[3] lorsque n est impair et 5^n = 1[3] lorsque n est pair.

[invitedf60503e]

Je bosse tout ce que vous avez écrit, je vous répond dans un instant les gars !

[GalaxieA440]

oui on est d'accord

mais je ne résoud pas le deux les doigts dans le nez pour autant.

j'ai a² = 5^2p -9
A gauche, ça congrue 1 mod 3 mais j'en déduis pas a pour autant
Je cherche encore...

[invite2220c077]

Galaxie : Regarde ma remarque plus haut : 5^2p = (5^p)²

Et ne regarde plus les congruences, résouds ça de manière "algébrique"

[invitedf60503e]

bastienbarbier@msn.com

[GalaxieA440]

Je craque, j'arrive pas le b

Je vois bien ou tu veux en venir avec ce que tu as mis plus haut, mais résoudre ça de manière algébrique ??? on a encore du 5^p. Est-ce que tu utilises des critères de divisibilité ???

[invitedf60503e]

Zweig, juste je peux te demander une explication sur :

5^n congru à -1 (mod3) quand n est impaire et 5^n congru à 1 (mod3) quand n est paire ?

Et savoir ce que tu pense de si 5^n est congru à -1 (mod 3) quand n est impaire, alors comme a² + 9 n'est pas congru à -1 (mod 3) alors, l'équation n'as pas de solution avec n impaire !

Merciii

[invitedf60503e]

5^n est congru à 2 (mod 3) quand n est impaire, galazie a raison

[invite2220c077]

Je mets la (enfin mes) solutions en SPOIL

 Cliquez pour afficher

Il y'a deux manière de résoudre cet exercice. Je te propose les deux manières.

La première manière s'aide de ce théorème, qui est un cas particulier du théorème de Fermat lorsque n = 2. Je rappelle le grand théorème de (Wiles) Fermat :

L'équation x^n + y^n = z^n n'admet de solutions dans les entiers strictement positifs que si n <= 2.

En partant de ça, il existe un théorème pour le cas n = 2 fort utile lors de résolutions d'équations diophantiennes (équations dans Z) :

Toute solution primitive de x² + y² = z², où y est supposé pair, est de la forme :

x = u² - v², y = 2uv, z = u² + y²

où u et v sont des entiers naturels non nuls, de parité différente et tels que (u,v) = 1 (= ils sont premiers entre eux)

Notre équation se réécrit :

a² + 3² = (5^p)²

Mais puisque y est supposé pair, alors on a x = 3 = u² - v² = (u + v)(u - v). Mais puisque dans N, le seul produits de deux nombres donnant 3 est 3 = 3*1, alors il reste à résoudre, dans N : u + v = 3, u - v = 1 ou u + v = 1, u - v = 3. La résolution de ces systèmes te donneront u = 2 et v = 1 comme unique solutions dans N. Ceci établit, tu en déduis a = 2uv = 4 et donc p = 2.

Deuxième solution : On a dans N les seuls produits de 2 nombres donnant 9 suivants : 9 = 3*3 = 9 * 1

a² + 9 = (5^p)² <=> (5^p - a)(5^p + a) = 9

D'où à résoudre dans N les systèmes :

5^p - a = 3
5^p + a = 3

5^p - a = 1
5^p + a = 9

5^p - a = 9
5^p + a = 1

Et tu vas vite voir que le seul couple solution est (a,p) = (4,2)

[GalaxieA440]

**** je suis un vrai boulet (c'est ce que je me dis à chaque fois que je loupe un exo...)

Je me suis entêté sur la forme a² = (5^p)² -9 J'avais identité remarquable et tout, et j'arrivais pas à mettre en système pour trouver a

[invitedf60503e]

Juste te lever mon chapeau Zweig ! Je suis un mec intelligent, sans plus, mais la vraiment, frenchement, t'ira loin dans tes études et plus tard mec ! En tout cas merci bcp vraiment ! Je vais me tourner vers la 2e méthode, car la première a besoin vraiment d'etre approfondi au niveau des lois, et je ne l'ai pas encore très bien vu ! merciii bcp !

[GalaxieA440]

N'empêche la spé maths c'est pas évident

Je propose un truc, c'est de créer une un fil qui rassemble les résumé essentiels sur les chapitres de spe maths. PAs d'exo ni d'exo résolu ni d'aide pour résoudre des trucs, juste des résumé de chapitres, ex : sur les congruences, ya un tas de choses pas évidentes, un tas de méthode particulière qu'il faudrait lister.
Enfin je sais que moi je vais pas tarder de me faire un max de fiche de résumer (ds approche), je les mettrais en ligne sur FS, ce serai bien qu'il soit complété par d'autres....

[invite2220c077]

Je me suis trompé sur un point : p = 1 et non à 2

[invite2220c077]

bastien90210 > Oulà, tant d'éloge pour pas grand chose Enfin, je veux dire que je suis habitué à ce genre d'exercices car je m'entraîne pour les Olympiades Internationales de Mathématiques, et les équations diophantiennes (entre autre), j'en mange un sacré paquet ! Donc j'ai acquéris quelques réflexes.