Math Spé

[invite51966edf]

Bonjour tout le monde c'ets les vacances et comme d'habitude les profs nous ont inondés de boulot.
J'ai un sujet de math spé qui m'embète (pr être polie) sérieusement.

Exercice 1
1.Le nombre 2¹¹-1 est il premier?
Pour info j'ai trouvé que 2¹¹-1 congru 0[23] donc il est divisible par 23 (et 89) donc il n'est pas premier. Est-ce que ca suffit comme démonstration?

2.Soit p et q deux entiers naturels non nuls ; montrer que 1+2^p+(2^p)²+(2^p)³+...+(2^p)^q= ((2^p)^q-1)/(2^p-1)
ca c'est la sommes des termes de la suite de 1er terme (2^p)⁰ et de raison 2^p.C'est ca ? et comment rédiger

En déduire que 2^p-1 et 2^q-1 divisent (2^p)^q-1
Alors a partir de là j'vous laisse faire..

3. Montrer que si 2ⁿ-1 est premier alors n est premier. La réciproque est'elle vraie?

Exercixe 2 : Soit n un entier naturel

1.Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5ⁿ par 13.

2.En déduire que 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible pas 13.

3.Démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1; le nombre N=31⁴ⁿ⁺¹+8⁴ⁿ⁺¹ est divisible pas 13

Exercice 3 :

1. x est p étant 2 entiers naturels, calculer la somme 1-x+x²+...+(-1)^px^p

2.Démonter que , quels que soient les entiers naturelsx et n, x²ⁿ⁺¹ +1est un multiple de x+1

3. En déduireque si q=2ⁿ, (2ⁿ)^k+1 est divisible par 2^q +1 si k est impair.

4. Soit m un entier naturel tel que le nombre 2^m+1 soit un nombre premier.
Montrer alors que l'entier m est une puissance de 2.

Merci d'avance pour votre aide et si vous êtes motivés allez faire un tour sur le sujet de Math obligatoire
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[Gwyddon]

Salut,

Pour l'exercice 1 :

_ Ta démo sur 2¹¹-1 est largement suffisante.

_ La somme doit s'arrêter à (2^p)^q-1, mais je pense que tu as fait une erreur de recopie. Sinon ton argument est bon, il n'y a pas vraiment besoin de rédiger plus que ça.

_ Pour la suite, tu ne vois vraiment pas comment faire ? Qu'est ce que ça veut dire qu'un entier en divise un autre ?

_ Pour la question 3, il te suffit de réfléchir à ce que signifie "être premier". Pour la réciproque, tu ne devrais pas avoir trop à réfléchir, il te suffit de bien relire les étapes de l'exercice.

[invite51966edf]

oui ta raison faute de frappe
ensuite pour la divisibilité non je vois pas c'est une histoire de congruence?
Etre premier etre divisible par 1 et par lui meme et alors...

[Gwyddon]

La congruence c'est compliqué

Si je demande à un élève de CM2 de m'expliquer la divisiblité, il ne va pas parler de congruence, il va juste dire que le reste de la division euclidienne de n par m est zéro

Dit autrement, la définition (simple et générale) de la divisibilité, c'est :

a divisible par b ssi a=k*b, k entier

Dit autrement, pour b non nul cela signifie entre autre que le quotient a/b est entier (ce qui revient à dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on retombe sur nos pieds).

Tu ne vois toujours pas comment appliquer ça dans ton exercice ?

Sinon pour la primalité, une autre manière de voir c'est qu'un entier n n'est PAS premier si tu peux l'écrire comme un produit de facteurs...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite785b016a]

Pour l'exo 2

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1) On a succesivement :
5^0 ≡ 1 (13)
5^1 ≡ 5 (13)
5^2 ≡ 12 (13)
5^3 ≡ 5^2 x 5 (13) soit 5^3 ≡ 8 (13)
5^4 ≡ 5^3 x 5 (13) soit 5^4 ≡ 1 (13)
On constate une période de 3 ainsi on effectue la division euclydienne de n par 3 : n = 4q + r avec (q,r) qui appartiennent a Z² et 0< r < ou = a 4.
Donc 5^(n) ≡ 5^(4q+r) (13) soit 5^n ≡ 5^4(q) x 5^(r) (13) donc
5^(n) ≡ 5^(r) (13) car 5^4 ≡ 1 (13).
si r = 0 alors 5^n ≡ 1 (13)
si r = 1 alors 5^n ≡ 5 (13)
si r = 2 alors 5^n ≡ 12 (13)
si r = 3 alors 5^n ≡ 8 (13)

2) 1981 ≡ 5 (13)
Donc 1981^(1981) -5 ≡ 5^(1981) -5 (13)
Or 1981 = 396 x 5 + 1 donc r = 1 et d'après 1)
1981^(1981) ≡ 5 (13) ainsi 1981^(1981) -5 ≡ 0 (13)
Donc 1981^(1981) - 5 divisible par 13

3) Ici je pense qu'il faut utiliser la récurrence ! Comme pour la question 2) de l'exo 1

Comme le dit kNZ, ton message est INUTILE. Ici le but est d'aider, pas de pondre des solutions. J'ai donc caché tes réponses.

Gwyddon,

Pour la modération

[kNz]

Merci de ne pas faire les exercices à la place des autres, ça n'apporte rien à personne ....

[invite51966edf]

Non c'est pas mal quand même je fais les exos et je compare comme ca je vois si c'est juste...
faut savoir se maitriser c'est sur mais c'est pratique!!
Bref merci!

[invite51966edf]

moué alors pour le 1 ; le 2^p-1 ca va mais le 2^q-1 on le sort d'ou?

[invite51966edf]

Un autre truc que j'ai pas pigé dans la réponse de marcodu58 il dit on constate une période de 3...j'voi pas
ensuite n=4q+r pourquoi s'arrète t'on à 4

[Gwyddon]

moué alors pour le 1 ; le 2^p-1 ca va mais le 2^q-1 on le sort d'ou?

Bonne question

En fait il n'y a aucun calcul à faire, il faut juste que tu réfléchisses un peu à ce que tu as fait : est-ce que le fait d'avoir travaillé avec p au lieu de q a une importance ? Dit autrement, que se passe-t'il si dans le raisonnement qui t'a permis de dire que 2^p -1 divise (2^p)^q-1, tu changes p en q, q en p ? Rappel : (a^p)^q = a^pq = (a^q)^p

[invite785b016a]

Gwyddon je n'ai pas fait tout l'exercice mais seulement le 2) pour l'aider et qu'il comprenne la méthode de l'exo. Dsl j'aurait du ne pas tout mettre mais bon ( je suis tombé sur le meme exo en controle de spé il y a une semaine lol !). Dsl je me suis trompé c'est une période de 4 Letasdebruits !
a++

[Gwyddon]

Bonsoir Marco,

Tu as quand même fait un exercice, et cela n'aide en rien. L'esprit du forum, c'est de donner des pistes, des indications, d'essayer de faire en sorte que la personne qui reçoit de l'aide comprenne à la fin ce qu'elle fait.

Alors oui, ça prend plus de temps que pour rédiger une solution, mais c'est aussi plus gratifiant et pour la personne aidante, et pour la personne aidée

[invite51966edf]

aaa ok merci a tous je comprend beaucoup mieux...!!
Si vous vous trompez en plus.... hihi
Bon ca m'a l'air bon pour le 1 et 2 mais pour le 3 alors....

[invite51966edf]

Enfin j'ai toujours pas compris à quoi on voit qu'il y a une période de 4!!

[Gwyddon]

Hello,

Connais-tu le calcul des congruences ? Si oui, tu dois savoir que si a = b (mod p) alors aⁿ = bⁿ (mod p) pour tout entier naturel n.

Si tu ne connais pas ce n'est pas grave, il suffit de faire quelques tests pour conjecturer que la période est 4. Pour le démontrer ensuite, tu fais une division euclidienne de n par 4, et tu regardes ce qui se passe en fonction du reste

Je te suggère de rédiger complètement cette question, et on pourra ainsi te corriger (si ce n'est pas moi, ce sera d'autres du forum).

Pour la question 3) de ton exercice, pas besoin de récurrence. Tu peux encore utiliser tous les résultats de ton exercice. Ainsi, tu peux trouver le reste de 31⁴ⁿ⁺¹ en utilisant ce que tu sais sur les 5^m puisque 31 et 5 ont le même reste dans la division par 13.

Pour 8⁴ⁿ⁺¹, il faut que tu regardes d'abord ce qu'est le reste de 8⁴ dans sa division par 13.

Ensuite, petit rappel : si r est le reste de a par b, et si r' est le reste de a' par b, alors (r+r') est le reste de (a+a') par b, à un multiple de b près (histoire que r+r' +k*b < b quand même )

[invite51966edf]

Bon alors les enfants g bien bossé ce matin et pour l'exercice 2 tout va bien pour le 3 et le 1 j'ai un souci avec cette histoire de primalité (pour le 1 la réciproque ca va)... help
Ensuite pour 2^q-1.... bin je vois vraiment pas parce qu'on ne paut pas dire que si 2^p-1 divise (2^p)^q alors 2^q-1 divise (2^p)^q!!
donc c'est pas ici la solution!! c'est où?

[Gwyddon]

Ensuite pour 2^q-1.... bin je vois vraiment pas parce qu'on ne paut pas dire que si 2^p-1 divise (2^p)^q alors 2^q-1 divise (2^p)^q!!
donc c'est pas ici la solution!! c'est où?

Et pourquoi ne pourrais-tu pas le dire ? Si tu poses p-> q, q-> p, où est la différence entre ce que l'on te demande de démontrer, et ce que tu as déjà démontré ?

[invite51966edf]

attent j'ai pas compris tes inéquations!
Tu veux dire que si p-1>q q-1<p
Heu non ca doit pas être ça
plutot -p>q; -q>p?

[Gwyddon]

Argghh, non non ce ne sont pas des inéquations, mea culpa.

Je refais ça plus propre :

(ce qui signifie changer p en q, q en p)

[invite51966edf]

AAA okk chui 2 de tension moi!! c ca de trop réfléchir
Alors on fais comme ça c'est la fète on transforme p en q?...
Mais alors du coup dans ma suite ca me fait
1+2^q+(2^q)²...+(2^q)^p+1 non?
on a le droit ca (ça me parait trop facile)

[Gwyddon]

En effet c'est correct, mais j'ai mieux (histoire que tu ne refasses pas tout).

Tu oublies ta série, et tu te concentres juste sur le résultat qu'elle t'a permis de démontrer, à savoir pour p,q entier 2^p-1 divise 2^pq -1.

Maintenant tu regardes ce résultat droit dans les yeux, et tu fais le changement que je te propose. Qu'en penses-tu ?

[invite51966edf]

D'aaaaaccord j'ai compris le truc (j'allais chercher trop loin...)
Merci beaucoup j'ai encore besoin de ton aide pour démontrer que si 2^n-1 est premier alors n est premier
et aussi l'exo 3 avec m....

[Gwyddon]

D'aaaaaccord j'ai compris le truc (j'allais chercher trop loin...)
Merci beaucoup j'ai encore besoin de ton aide pour démontrer que si 2^n-1 est premier alors n est premier

Je t'ai déjà donné une indication : réfléchis à ce qui se passe si n n'est PAS premier justement, et sers toi de tout ce que tu as déjà démontré dans cet exercice.

[invite51966edf]

Un entier n n'est pas premier si on peut l'écrire kom 1 prdt de nbres (c'est toi qui l'a dit!!) donc si n=x*y par ex...
or 2^n-1 est premier et après...
2^n-1 est impair ( ca m'avance pas à grand chose...)
roo lala j'vois vraiment pas ..ca a un rapport avec le reste de l'exercice
je sais que (2^p)-1 divise (2^p*q)-1
moué si n n'était pas premier (2^x)-1 et (2^y)-1 diviserais (2^n)-1
et comme (2^n)-1 est premier....
BIN C'EST PAS POSSIBLE !!!!!
C'est ça?

[invite51966edf]

Oué ça me parait logique par contre des petites indiquations pour le 4 de l'exo 3.......