Nombres premiers (always)

[MS.11]

Ah... l'arithmétique...

Bonsoir !

Je vous poste d'abord mon énoncé :

a ; a + b ; a + 2b sont trois nombres premiers donnés, a >ou= 5

1\ Démontrer que b est un entier pair.

2\ a) Démontrer que b est divisible par 3

b) Déduisez-en que b est divisible par 6

Vous allez être étonnés par la rigueur de ma démonstration pour la question 1 :









Mais c'est à la question 2 que les choses se gâtent... Et une aide serait la bienvenue .

Merci d'avance.
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[MS.11]

Je ne vois toujours pas... Ca fait peut être appel à des choses que j'ai pas encore vues ?

Si quelqu'un veut bien me donner un indice...

[Coincoin]

Salut,
En toute généralité, un nombre peut s'écrire 3n, 3n+1 ou 3n+2. Si tu appliques ça à a et à b, et que tu gardes en tête que les nombres premiers plus grands que 3 ne peuvent pas être divisibles par 3, tu devrais t'en sortir.

[MS.11]

En voilà une idée qu'elle est bonne ! Merci Coincoin ! Je tente ca tout de suite...


Encore une victoire de canard !

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

En faisant un joli tableau tout simple, tu verras que (tout ce qui suit est modulo(3):
sachant que a 1 ou a 2 (sinon a serait divisible par 3)
si b 1 ou b 2 , alors soit a+b soit a+2b 0 ou les deux (donc non premier(s))

[MS.11]

Ah ! Catastrophe !

Mais qu'est ce que tout ça ??? J'ai pas encore fait les congruences... Nous avons un prof qui avance lentement (mais sûrement j'espère). Mais merci quand même danyvio.

J'ai suivi l'idée de coincoin, mais c'est assez peu concluant.

J'ai écrit que a=3n est impossible puisqu'il est premier
a=3n + 1 avec n pair ( car si n est impair, a devient pair et il ne peut plus être premier)
a=3n + 2 avec n impair

J'ai fait pareil avec b, sachant qu'il est pair.

b=3m avec m pair
b=3m + 1 avec m impair
b=3m + 2 avec m pair

J'ai fait les six sommes possibles... Mais je n'en vois que 2 qui s'en vont ( c'est-à dire qui sont impossibles puisqu'on peut factoriser par 3 )

Est-ce que c'était bien par là qu'il fallait aller ? Ou est-ce que je fais fausse route ?

[MS.11]

Je n'arrive toujours à rien de plus...

Quelqu'un peut-il me dire si les congruences sont indispensables ?

Merci à vous.

[MS.11]

Bonsoir,

J'ai toujours pas vu comment faire sans les congruences... Est-ce que je peux m'en passer ?

Merci de vos réponses.