Equation intéressante

[juju290]

Bonsoir,

Résoudre dans Z*Z l'équation (E) : (x^3)(x²+y²) = 243 000.

J'ai vu cet exercice sur le net, mais je n'ai pas réussi a le solutionner comme il faut. Je n'ai pas trouver la solution, ni d'explication, pourriez vous me détailler les calculs et démarches afin que d'autre qui comme moi souhaitent comprendre ce style d'exercice puissent avancer ?

Merci

[-Zweig-]

Salut,

Quand tu résouds une équation dans N (ou dans Z), généralement (ce n'est pas une parole d'évangile du moins !) c'est d'essayer, quand cela est possible du moins, de factoriser ton équation pour arriver à la forme : AB = k avec AB un produit de polynômes (bon, il peut y avoir plusieurs facteurs genre ABCD .... peut importe), et où k est une constante. Ici c'est super, le boulot est déjà fait

L'idée après ça, c'est de décomposer ta constante, ici 243 000, en produits de facteurs premiers. On a

Mais puisque notre équation est , on doit donc arranger les facteurs de la décomposition pour ne former que deux produits. Mais, l'un des facteurs est . Cela veut dire qu'il faut obligatoirement, pour qu'il y ait des solutions dans les entiers (c'est une condition nécessaire mais pas suffisante parcontre), qu'il y est un des deux facteurs de la décomposition de la forme . On voit bien qu'ici (si je ne me trompe pas) les seules possibilités sont :

Je te laisse finir

[juju290]

Du coup on a :

Si x = 2 ; y = racine ( 30731 )
Si x = 5 ; y = racine ( 1919 )

Exact ? on forme les couples solutions et la résolution est finie ?

[-Zweig-]

Les couples sont bons ... Or n'oublis pas que tu es dans les entiers et que les racines carrées ici ne donnent pas des nombres entiers mais des nombres irrationnels ... donc cette équation n'admet aucune solution dans les entiers (si j'ai bien dénombré tous les cas).

[juju290]

Il y a aussi le cas du genre :

243 000 = 3^3 * 3² * 5^3 * 2^3 = (3^3) * 9000

Donc y² = 9000 - 3²

y = racine ( 8991 )

Donc un autre couple impossible, exact ?

[-Zweig-]

Oui puisque V(8991) n'appartient pas à Z. Donc à partir de ces "décompositions", faut dénombrer tous les arrangements possibles pour faire apparaitre un des deux facteurs de la forme

[Hamb]

il peut aussi y avoir des nombre de la forme (3*5)^3...... donc en prenant x=15 ca fait une autre possibilité à étudier

[juju290]

On a donc 7 cas :

x = 2
x = 3
x = 5
x = 6 = (2*3)^3
x = 10 = (2*5)^3
x = 15 = (3*5)^3
x = 30 = (5*2*3)^3

Yeah ?

[juju290]

Je trouve donc le couple (x;y) = ( 6 ; 33 ) qui est solution.
6 et 33 appartiennent a Z

[Ard3nt]

Exact, je l'ai aussi a faire, et j'ai trouver çà.