Simplification de congruence...

[Mathador33]

Bonjour ! J'ai un exercice en spé de maths, et il porte sur la simplification des congruence. (comme je trouve pas le signe "congru" j'utilie=)
a= 30757 [10]
et y'en a plein d'autre comme ça. Comme je n'ai absolument rien compris, j'ai détroussé tout le livre, toute la leçon, tout le web en quete d'indice. Apres etre tombé sur plein de sites anglais (l'horreur) et revisité la leçon, j'ai commencé à écrire:
(a-30757) x k = 10
Magnifique. Je fait quoi maintenant ? Les seules théoreme vus ne semblent pas etre utiles ici (je suppose qu'ils le sont, sinon ce serait idiot, mais bon...bref je galère) Quelqu'un peut m'aider ???
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[invitea250c65c]

Salut !

Alors déjà faut bien comprendre le concept de congruence.
Dire que (mod. n) (n non nul) signifie que a-b est divisible par n, c'est a dire qu'il existe tel que a-b=kn. C'est équivalent à dire que a et b ont même reste dans la division euclidienne par n.
Bon, ca dit pas forcément grand chose si tu n'avais pas compris (t'as la même chose dans ton cours). Par exemple, (mod. 7) car 16-2=14 est divisible par 7 (avec les restes de la division euclidienne : 16=2*7+2 et 2=0*7+2 donc même reste : 2).
Donc en gros truc congru a bidule modulo machin ca veut dire quoi? Ca veut dire que truc et bidule sont égaux à un multiple de machin pres. En trigo, t'as deja entendu parler des modulos ? Par exemple tu as une équation, disons , on trouve modulo ou modulo . Modulo ca veut dire quoi? Ca veut dire a un multiple de pres : , , , , ... et pareil pour le .
Tu as compris ?

Donc maintenant pour tes exos. En plus modulo 10 ca va tu peux le faire de tête. Voici un exemple :
(mod. 10), or (mod. 10) (car 27-7=20 est divisible par 10) donc (par transitivité) (mod. 10) (si a=b et b=c alors c'est évident que a=c, c'est un peu le même principe ici). Tu pourrais aussi dire que (mod. 10) donc (mod. 10). Un autre exemple : (mod. 10) donc (mod. 10) ou (mod. 10). OK ? Si ca avait été modulo 378 la pour la coup de tête c'est plus dur mais modulo 10 ca va vite.
Ca va ?
Bien sur si (mod. 10) tu peux aussi dire que (mod. 10) mais ca n'a pas d'interet, le but étant de travailler avec des nombres les plus petits possibles.

Tu vas me dire "oui mais à quoi ca sert?". Ca sert a plein de choses, par exemple à montrer qu'un grand nombre A est divisible par 7 (par exemple) en travaillant sur des petits nombres, il suffira de montrer que (mod. 7), et quand tu auras vu quelques règles sur les opérations sur les congruences ca ira très vite, tu les manieras aussi aisément que des égalités (c'est très analogue d'ailleurs).
Donc en travaillant avec les congruences tu simplifies de grands nombres en petits nombres, une fois qu'on a le reflexe, les congruences ca simplifie vraiment la vie.

Bonne chance et puis j'espère que tu as bien compris, sinon demande.

A+

[invite31253240]

Juste pour savoir comment tu fais pour faire le signe [congru à] ?

[invite1237a629]

\equiv entre balises [tex]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31253240]

Ok, et on peut les trouver où toutes ces abréviations (par exemple pour faire [racine]…) ?

[invite401e830d]

Bonsoir !! J'ai lu déjà plusieurs fois l'explication fournie au sujet de cette discussion et le cours de ma prof et de mon livre mais sans résultat ! J'ai exactement le même pb que Mathador33 avec la mm question c'est-à-dire a = (congru)30 757(n). Je pense également que le pb vient du fait que je n'ai pas saisi la leçon donc j'aimerai être éclairée ! Voilà donc si qq peut m'aider, merci davance !!

[Jeanpaul]

Dire que a est congru à 30757 modulo 10 c'est dire que si on divise a par 10 et 30757 par 10, le reste est le même.
Ici il est clair que ce reste vaut 7, donc le dernier chiffre de a est 7 aussi.