Un probleme de limites en + l'infini

[invitebb66977a]

Tout d'abort bonjour a tous, je vien vous demander de l'aide a propos d'un exercice de math... Je suis en Terminale S.
Je vous remercie déjà par avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

Dans cet exercice :

On admet qu'il existe une fonction f definie sur |R vérifiant :
f(0) = 0 et f '(x) = 1 / (x²+1)

En j'ai j'ai trouvé a peu près tout l'exercice sauf la dernière question mais je vais les écrire car elles sont liées :

Question : On definit la fonction g sur [0 ; Pi/2[ par g(x) = f ( tan(x) ) - x

a) Il fallait calculer g' (x) pour x appartenant a [0 ; Pi/2[

Pour eviter de trop compliquer je vous dit ce que j'ai trouvé
g'(x) = 0

b) Que peut-on dire de g ? en deduire que f( tan(x) ) = x pour x appartenant a [0;Pi/2[

J'ai dit que comme la dérivée est nulle g est constante sur [0 ; pi/2[.
Puis j'ai reussi egalement a trouver que f(tan(x)) = x sur [0;pi/2[.

c) (Et c'est la que je bloque... si vous pouvez au moins me donner une piste)

Demontrer a l'aide de la relation précédente que :
lim f(x) = Pi / 2
x ->+00

Ps : J'ai demontré dans une autre question que :

lim f(x) = 2f(1)
x-> +oo

Je ne sais pas si cette relation sert ou si c'est uniquement ce que je vous ai dit...

Un grand merci pour m'avoir lu et je vous remercie encore pour l'eventuelle aide que vous pourrez m'apporter.
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[invite6ed3677d]

Bonjour et bienvenue.

On sait que f(tan(x)) = x sur [0;pi/2[

Pourquoi ne pas changer de variable ? Je pose X = tan(x)
je sais alors que f(X) = arctan(X) sur l'intervalle .... ?
et la limite de arctan(X) pour X tendant vers l'infini, on connait !

Attention aux ensembles de définition de x, X, arctan et f !!!!!

[invite7ffe9b6a]

Bonjour et bienvenue.

On sait que f(tan(x)) = x sur [0;pi/2[

Pourquoi ne pas changer de variable ? Je pose X = tan(x)
je sais alors que f(X) = arctan(X) sur l'intervalle .... ?
et la limite de arctan(X) pour X tendant vers l'infini, on connait !

Attention aux ensembles de définition de x, X, arctan et f !!!!!

heu les fonctions arctan arccos arcsin ainsi que toute les fonctions trigonometriques hyperboliques ne sont pas au programme de TS.

on a f(tan x)=x sur [0;\Pi/2[
donc les fonctions f et tan x sont réciproques sur cet intervalle donc elle sont symétriques par rapport à la premiere bissectrice.

Ainsi limf=Pi/2

un petit dessin à la main permettra de comprendre ceci, l'asymptote vertical x=Pi/2 et transforme en asymptote horizontale y=Pi/2 en raison de cette symétrie.

[invite6ed3677d]

heu les fonctions arctan arccos arcsin ainsi que toute les fonctions trigonometriques hyperboliques ne sont pas au programme de TS.

Tout se perd, mes petits enfants ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb66977a]

Tout d'abord merci pour vos reponses... J'essaye de comprendre

Je ne vois pas comment utiliser f(tan(x)) = x ; et désolé... je ne comprend pas cette histoire de symétrie...

N'y a t-il pas une histoire de calculs...
sachant que lim f(x) quand x tend vers + l'infini est 2*f(1) ...

J'ai essayé plein de choses et je ne sais pas expliquer pourquoi f(1) = pi /4...

je retourne les possibilités dans tout les sens je ne vois vraiment pas la solution...

pouvez vous m'expliquer une fois de plus s'il vous plait..

[invite6ed3677d]

En supposant que la trigo est encore au programme de terminale :

on peut chercher 2f(1) ... donc f(1) mais on sait que f(tan x) = x
donc cherchons a tel que tan a = 1, on en déduira que f(tan a) = f(a) = a et donc que la limite cherchée est 2a.

Un indice si nécessaire :
tan a = sin(a) / cos(a) = 1 ==> cos(a) = sin(a) ...
Les valeurs particulières de sin et cos devraient aider

[invite7ffe9b6a]

d'accord bon alors on va le faire avec f(1).
alors comment calculer f(1)?
Attention on est toujours sur [0;pi/2[
on sait que f(tan x)=x
et on veut f(1)
donc si on trouve un nombre x tels que tan x=1, on aura trouver f(1) car on aura f(tan x)=x donc comme tanx=1, f(1)=x.

quel est donc ce nombre??
quelle est le nombre entre 0 et pi/2 tels que tan(x)=1 autrement dit
sin(x)/cos(x)=1 autrement dit sin(x)=cos(x) et la on sait que x=Pi/4.

En effet

donc on a f(tan Pi/4)=Pi/4
et donc f(1)=Pi/4



Sinon lorsque que deux fonctions f et gsont reciproque sur un intervalle c'est à dire si f o g(x)=x on a alors f et g symétrique par rapport à la droite y=x.

mais ici on utilise pas cette méthode .

[invitebb66977a]

Je vous remerci pour l'aide que vous m'avez aporté tous

Votre aide m'a été precieuse

Il suffisait juste de savoir que tan x = sin (x) / cos (x)

[invite7ffe9b6a]

En supposant que la trigo est encore au programme de terminale :

on peut chercher 2f(1) ... donc f(1) mais on sait que f(tan x) = x
donc cherchons a tel que tan a = 1, on en déduira que f(tan a) = f(a) = a et donc que la limite cherchée est 2a.

Un indice si nécessaire :
tan a = sin(a) / cos(a) = 1 ==> cos(a) = sin(a) ...
Les valeurs particulières de sin et cos devraient aider

désole j'ai mis longtemps à écrire mon post et j'ai pas vu que tu avais éssayer de le mettre sur la voie du coup je lui ai donné la réponse.

Sinon ce n 'est pas la trigo qui n'est pas au programme de terminal puisqu'ils étudient quand meme les sinus cosinus et tangente qu'ils connaissent deja depuis la troisieme (c'est vrai que la progression est limité..).

Par contre il y a toujours des exos en terminal on on étudie sans le dire les sinus et cosinus hyperboliques voire meme les fonctions réciproques des fonctions trigonometriques(non hyperbolique ) comme ici.