Etude de Fonction avec Ln

[invite839255ce]

Bonjour à tous et surtout bonne année 2008 !!!
J'ai un probléme avec mon exercice de math, voila l'enoncé :
f est la fonction définie sur ]-1;1[ par :

f(x) = 1/2 Ln ( (1+x)/(1-x))

C est sa courbe représentative dans un repére .

1.a) Fonction dérivée ?
J'ai trouvé f(x)' = 1/(1-x²)
b) Deduire que f strictement croissante sur son ensemble
j'ai dit que f ' est strictement positif sur son ensemble donc f est strictement coissante sur cet ensemble...( j'ai fait un tableau de signe pour en déduire le signe de f ' )
2.a) Limites en -1 et 1

J'ai trouvé comme limite en -1 , - l'infinie et en 1, + l'infinie, et jen deduis des asymptotes verticales
Ensuite on me demande de tracer le tableau de variation, ce que j'ai fait en y mettant les limites et les valeurs interdites

Ensuite on me demande de justifier que le centre du repére est centre de symetrie de C ---> je suis parti sur le fait que si le centre est un centre de symetrie alors la fonction est impaire et f(x)=-f(-x)
J'ai fait les calculs est sa marche !
Ensuite arrivent les problémes : voici les questions
4.a) A partir de l'étude réalisée, démontrer que pour tout réel y, l'equation f(x)=y admet 1 solution unique :
Je pense qu'il faut que je parte du théoréme de la bijection : f étant strictement croissante et continue sur son ensemble de definition, alors ... ( Est ce le bon raisonnement ?)
b) Exprimer, par le calcul, x en fonction de y

Voilà comment je demarre : f(x)=y
pour x=0 ,

1/2 Ln ( (1+0)/(1-0))= 1/2 Ln (1) =0 donc x=y
Je ne suis vraiment pas sur de cela
c) On note c' la courbe representztive de la fct° y ->x . Expliquer pourquoi les courbe C et C' sont symétriques par rapport à la drte d'equation y=x
Alors la je vois vraiment pas, jpense que je me suis trompé avant donc s'est pour ça que je n'y arrive pas .... Pouvez vous m'aidé SVP !!
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je suis d'accord jusque là :

Ensuite on me demande de justifier que le centre du repére est centre de symetrie de C ---> je suis parti sur le fait que si le centre est un centre de symetrie alors la fonction est impaire et f(x)=-f(-x)

C'est l'autre sens qui nous intéresse ici : Si la fonction est impaire alors (0,0) est centre de symétrie pour la courbe. Il faut montrer que la fonction est impaire pour pouvoir en déduire que l'origine est bien centre de symétrie...

4.a) A partir de l'étude réalisée, démontrer que pour tout réel y, l'equation f(x)=y admet 1 solution unique :
Je pense qu'il faut que je parte du théoréme de la bijection : f étant strictement croissante et continue sur son ensemble de definition, alors ... ( Est ce le bon raisonnement ?)

Oui

b) Exprimer, par le calcul, x en fonction de y

Voilà comment je demarre : f(x)=y
pour x=0 ,

1/2 Ln ( (1+0)/(1-0))= 1/2 Ln (1) =0 donc x=y
Je ne suis vraiment pas sur de cela

Non, là on a y=f(x) et on sait qu'à chaque y correspond un unique x donc on peut inverser la relation, obtenir x en fonction de y: le but c'est de trouver la fonction g telle que x=g(y).

[invite839255ce]

Pour f impaire j'ai dit exactement, si on a une symetrie par rapport à l'origine, alors f(x) est impaire et donc on doit avoir -f(-x)=f(x) , c'est correct dit comme ça ??
Ou il faut que je démontre que f(x)=-f(-x) donc f impaire donc axe de symétrie ....?

Pour la suite j'ai compris merci de l'aide !!

[Flyingsquirrel]

si on a une symetrie par rapport à l'origine, alors f(x) est impaire

C'est vrai mais ça ne peut servir qu'à montrer qu'une fonction est impaire en disant que ça courbe admet l'origine comme centre de symétrie... et en général ça n'est pas simple.

Ou il faut que je démontre que f(x)=-f(-x) donc f impaire donc axe de symétrie ....?

C'est ça !

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