Congruence Spé math TS

[invitedd0f7139]

Bonjour a tous, j'ai un DM de spé math à rendre pour mercredi et je bloque sur 2 questions...
Les questions 1 et 2 sont faciles, mais jarrive pas a résoudre la questions 3 et 4.

Enoncé:

on a n qui appartient au entier naturel.

I) Verifiez que 7 divise les nombres suivants:

2^6 - 1 ; 3^6 - 1 ; 4^6 - 1 ; 5^6 - 1

II) On a Sn = 2^n + 3^n + 4^n + 5^n

Montrez que Sn+6 - Sn est divisible par 7.

III) soit r le rest de la division euclidienne de n par 6.

Montrez que : Sn est congru a Sr modulo 7.

IV) Trouvez n tel que Sn est divisible par 7.
Je pense que la reponse est n impaire mais je n'arrive pas a le prouver.


Merci pour l'aide.
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[invite1237a629]

Plop,

Pour la question 3, tu peux "extrapoler" la question 2.

Si S_n+6 - S_n est multiple de 7, que peux-tu dire de S_n+6 - S_n-6 ?
Et S_n+6 - S_n-2x6 ?

Cela marche ainsi pour la question 3 :
- écris la division euclidienne de n par 6 (avec dividende, diviseur, quotient et reste r)
- sers-toi d'une propriété (définition ?) de a congru à b modulo n, que peux-tu dire de a-b ?

Pour la question 4, à mon avis il faut se servir de la question 1, mais il faut que j'y réfléchisse ^^

[invite1237a629]

Rectification -___-

Pour la question 3 :
- écris la division euclidienne de n par 6
- écris la congruence de 2^6q, 3^6q etc par rapport à 7
- raisonne comme pour la question précédente

Ca devrait aller

[invitedd0f7139]

Ca je l'avais deja fais la division euclidienne de n par 6.
et comme reste que je trouve les valeurs suivantes: 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.

Je vais faire la congruence de 2^6q..... par 7.

Merci je reviendrai plus tard quand jaurai trouver les reponses.

tchoo

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ce qui pourra t'aider :

[invitedd0f7139]

Pour la congruence de 2^6q + 3^6q + 4^6q + 5^6q je trouve que c'est congru a 4 module 7.

Puisque 2^6 est congru a 1 module 7
dc 2^6q est aussi congru a 1 module 7.
je fais la meme chose avec 3^6q, 4^6q et 5^6q.

Or Sn qui est congru a 4 modulo 7.

Donc Sn est congru a Sr modulo 7.

C'est le bon resonnement??
merci

[invitedd0f7139]

et pour la question 4)
je trouve que sn est divisible par 7 pour les valeurs de n suivante :
n = 6q + 1
n = 6q + 3
n = 6q + 5

[God's Breath]

Ce qui pourra t'aider :

seulement, sauf à donner une hypothèse supplémentaire sur c

[invite1237a629]

Oui, désolée, c'est l'implication uniquement !

Pour la question 3, c'est bon ! C'est l'idée générale. Enfin j'aurais rédigé comme ça :

Tu écris tout d'abord que n=6q+r (r compris entre 0 et 5)
Ensuite,

Ensuite, tu mets les puissances de r en facteur à chaque fois.

Je t'ai demandé de calculer les congruences de 2^(6q) par rapport à 7 pour t'en servir plus haut. (idem pour 3 4 et 5)

En effet, 2^6 -1 est multiple de 7.
Donc
Donc
Donc 2^(6q)-1 multiple de 7

Et on peut donc conclure sur Sn-Sr