Nombre complexe

[Johnsguy]

bonjour ~~ j'ai un petit probleme avec mon devoir de maths

Voici l'exercice : z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4.

a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z).
Cette question j'ai répondu en utilisant la suite consécutif de la suite géométirque de raison z

b ) que vaut z' si z= e^i2pi/5 ? (j'ai remplace dans l'expression précedente)

En déduite la valeur de :
S = 1+ cos (2pi/5) + cos (4pi/5) + cos (6pi/5) + cos(8pi/5)

je ne sais pas quoi faire aider moi svp

tout ce que je sais c'est que ce S est un nombre réel ( puisque sinus est disparu).

Merci en avance de votre réponse pertinente et détalillé
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Essaies d'écrire z' pour z=exp(2i*pi/5) en utilisant la première formule et en séparant partie réelle et partie imaginaire.

[Johnsguy]

oui mais je vois pas comment je pourrai continuer

jai z' = (1-(cos 2pi + isin(2pi)) / (1- (cos 2pi/5 + isin 2pi/5))

[Flyingsquirrel]

Je parlais de z'=1+z+z²+z³+z⁴ quand j'ai dit "la première équation"

j'ai z' = (1-(cos 2pi + isin(2pi)) / (1- (cos 2pi/5 + isin 2pi/5))

Oui mais et

[A voir en vidéo sur Futura]

[Johnsguy]

z'=1+z+z2+z3+z4

z' pour z=exp(2i*pi/5)

= 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
= 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4

et là comment je continue ? je dois mettre cos d'un côté et le sinus d'un autre ?

et puis cos 2pi = 1 sin 2pi = 0

[Johnsguy]

z'=1+z+z2+z3+z4

z' pour z=exp(2i*pi/5)

= 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
= 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4
= 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5
= 1 + cos4pi + i sin4pi
= 2

S= 2 ?

c'est ca ?

[Flyingsquirrel]

z' = 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5

Oui, donc S = Re(z')

et puis cos 2pi = 1 sin 2pi = 0

Donc
Avec tout ça tu dois pouvoir conclure.

S= 2 ?

c'est ca ?

Non. Je ne comprends pas comment tu arrives à ça.

[Johnsguy]

Oui, donc S = Re(z')

Mais il faut en déduire la valeur de S. en addiotant tous les cos je tombe sur cos 4pi = 1 donc 1+1=2


et je sais que z' = 0 car 1- cos 2pi+isin 2pi = 0

[Flyingsquirrel]

Mais il faut en déduire la valeur de S. en addiotant tous les cos je tombe sur cos 4pi = 1 donc 1+1=2

Non, le 4pi tombe du ciel. La seule simplification possible c'est S = 1+ cos (2pi/5) + cos (4pi/5) + cos (6pi/5) + cos(8pi/5) = 1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5). Il n'y a pas de raison pour qu'un cos(4pi) apparaisse.

De toute façon, si le calcul direct était possible, on ne t'aurait pas fait calculer z' pour te dire ensuite d'en déduire la valeur de S.

et je sais que z' = 0 car 1- cos 2pi+isin 2pi = 0

Donc S = Re(z') = ...

[Johnsguy]

Donc S= Re(z') = 0 ?

[Flyingsquirrel]

Et oui, tout simplement

[Jeanpaul]

Encore plus simplement : calcule le produit z * z' à partir de la définition pour voir (quand z est la racine 5ième de 1).

[invite7ac151ce]

je parie que ton exo a pour but de calculer cos Pi/5 . Non ?

[Johnsguy]

Merci beaucoup ^^ tout le monde et surtout Flyingsquirrel. Je crois que j'ai cherché trop loin et oui cet exo a le but de calculer cos pi/5 ^^ pourquoi tu l'as déjà fait ?