Equation (cartésienne) d'un cercle.

[neokiller007]

Salut,

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C(a,b) et de rayon r est :
(x − a)² + (y − b)² = r²

Mais je croyais que x ne pouvait avoir qu'une image, alors comment est-ce possible?
Et comment trouve-t-on cette équation? (démonstration)

Merci.

[Cassano]

Mais x n'a qu'une image sur sa droite, tout y sur la sienne. La combinaison des deux forme un cercle! Ce n'est pas la représentation d'une fonction, tu peux donc avoir des "retours" sur ton plan,un peu comme pour une courbe paramétrée

[neokiller007]

J'ai pas compris "Mais x n'a qu'une image sur sa droite, tout y sur la sienne"
"La combinaison des deux forme un cercle!" des deux quoi?
Et pourquoi ce n'est pas une fonction?

[Gwyddon]

Une fonction c'est "à un truc donné j'associe au plus un autre truc"

Supposons que tu as ici une fonction y=f(x). Tu vois bien qu'il y a a deux y qui correspondent à un x sur le cercle. De même si tu avais essayé d'écrire x=g(y) à un y donné correspond 2 x.

Donc ton cercle n'est pas la représentation graphique d'une fonction "classique", du moins pas dans son écriture en x et y. Ce que voulait dire Cassano c'est que tu dois voir l'équation du cercle comme une relation qui porte sur le couple (x,y)


Si tu veux voir le cercle comme représentatif d'une fonction, il faut que tu passes en représentation paramétrique du cercle.

[Cassano]

Oui, désolé, j'ai un peu oublié un "comme" dans la phrase "tout y sur sa droite".

[neokiller007]

Mais pourtant on peut transformer cette équation pour la mettre sour la forme y=quelquechose. Et ça c'est une fonction.

[Gwyddon]

Mais pourtant on peut transformer cette équation pour la mettre sour la forme y=quelquechose. Et ça c'est une fonction.

Non, essaye et tu vas voir que tu n'y arriveras jamais

[neokiller007]

Pour faire plus simple on va prendre l'équation du cercle unité: x² + y² = 1.
x² + y² = 1<=>y²=1-x²<=>y=sqrt(1-x²) et y=-sqrt(1-x²) x€[0;1]

[God's Breath]

Pour faire plus simple on va prendre l'équation du cercle unité: x2 + y2 = 1.
x2 + y2 = 1<=>y2=1-x2<=>y=sqrt(1-x2) et y=-sqrt(1-x2) x€[0;1]

Si je compte bien, avec et , on obtient deux fonctions...

[Gwyddon]

D'abord tu as faux,

x² + y² = 1<=>y²=1-x²<=>y=sqrt(1-x²) et y=-sqrt(1-x²) x€[0;1]

Ce n'est pas ET, mais OU.

Ensuite où vois-tu une fonction dans tout ça ? Je te rappelle : à un x donné ne peux exister qu'au mieux UN et UN SEUL y=f(x) donné !

EDIT : je vois que God's Breath et moi savons compter jusqu'à 2, c'est pas mal

[God's Breath]

Pour revenir au cas général :
chacune des fonctions et est définie sur l'intervalle et a pour graphe un demi-cerle, la réunion de ces deux demi-cercles étant un cercle complet, dont l'équation est

[neokiller007]

Bon admettons.
Donc ça voudrait dire qu'une fonction est une équation et que certaines équations sont des fonctions
On peut représenter une fonction par un ensemble de points dans le plan l'espace etc..
Et il en est de même pour les équations?

[Gwyddon]

Bon admettons.

Tu ne m'as pas l'air convaincu du tout, pourtant c'est fondamental ! Qu'est-ce qui te bloque ?

Donc ça voudrait dire qu'une fonction est une équation et que certaines équations sont des fonctions

Pas du tout, tu fais une énorme confusion !

Une fonction c'est un objet mathématique qui à un truc pris dans un ensemble associe un bidule dans un autre ensemble (qui peut être le même que le premier, mais pas forcément)

Tu peux ensuite représenter cette action par une équation certes, mais :

_ d'une part ce n'est pas toujours possible

_ d'autre part "représenter" et "être" sont deux choses distinctes !

On peut représenter une fonction par un ensemble de points dans le plan l'espace etc..
Et il en est de même pour les équations?

Là par contre tu dis bien les choses. Représenter une fonction par un dessin c'est associer à une fonction ce que l'on appelle un graphe ; on peut aussi associer à une équation un dessin en effet.

[neokiller007]

Tu ne m'as pas l'air convaincu du tout, pourtant c'est fondamental ! Qu'est-ce qui te bloque ?

Parce que pour moi une équation c'est purement arithmétique je vois pas pourquoi on peut en tirer un objet géométrique.

Pas du tout, tu fais une énorme confusion !

Une fonction c'est un objet mathématique qui à un truc pris dans un ensemble associe un bidule dans un autre ensemble (qui peut être le même que le premier, mais pas forcément)

On est d'accord

Tu peux ensuite représenter cette action par une équation certes, mais :

_ d'une part ce n'est pas toujours possible

_ d'autre part "représenter" et "être" sont deux choses distinctes !

Un contre exemple pour le premier point?
Tu peux expliciter un peu plus le deuxième point?

[God's Breath]

contre exemple pour le premier point?

A tout réel , on associe l'unique réel tel que .

On définit ainsi une fonction de dans lui-même, mais il n'existe aucune formule de type algébrique permettant de calculer la valeur de à partir de la valeur de .