Besoin d'aide pour un exercice

Caco23 · 03/03/2008 - 18h23

j'ai un prolème pour un exercice de TS aidez moi svp

Donc soit f la fonction définie sur [1;+l'infini[ par f(x)= intégrale de 1 à X lnx/ ((1+3)³)dx.

En intégrant par parties, calculer f(x) en fonction de X.
Je l'ai fait mais j'obtiens ln(X) * 1/(-2(1+X)²) + 1/(2X) - X/(2(1+X)²) - 1/8 mais cela ne correspond pas au questions suivantes qui sont:
Montrer que pour X tend vers + l'infini lim lnX/((1+X)²)=0 et en déduire que pour X tend vers + l'infini lim
f(x) = 1/2(ln2-1/2)

e ne vois pas où est mon erreur ni comment faire la démonstration...
Aidez moi svp

MiMoiMolette · 03/03/2008 - 19h43

Plop,

Je suis nouille, bête et bornée

Donc soit f la fonction définie sur [1;+l'infini[ par f(x)= intégrale de 1 à X lnx/ ((1+3)³)dx.

C'est 1+3 ? 1+3x ? 1+x^3 ?

Buraq · 03/03/2008 - 20h00

Salut,

d'après la suite de son post je pense que c'est (1+x)^3 !!!

Caco23 · 03/03/2008 - 21h50

c'est (1+x)^3 merci pour votre aide

God's Breath · 03/03/2008 - 23h11

Envoyé par Caco23

Donc soit f la fonction définie sur [1;+l'infini[ par f(x)= intégrale de 1 à X lnx/ ((1+3)³)dx.

En intégrant par parties, calculer f(x) en fonction de X.

Tu intègres par parties avec $u = \ln x$ et $v' = \frac{1}{(1+x)^3}$ , donc $u' = \frac{1}{x}$ et $v = -\frac{1}{2(1+x)^2}$ , et tu obtiens :

$\int_1^X \frac{\ln x}{(1+x)^3} \,dx = \left[ -\frac{\ln x}{2(1+x)^2} \right]_1^X + \int_1^X \frac{1}{2x(1+x)^2} \,dx = -\frac{\ln X}{2(1+X)^2} + \frac{1}{2} \int_1^X \frac{1}{x(1+x)^2} \,dx$

Reste la dernière intégrale :

$\frac{1}{x(1+x)^2} = \frac{(1+x) - x}{x(1+x)^2} = \frac{1}{x(1+x)} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{(1+x)-x}{x(1+x)} - \frac{ 1}{(1+x)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{ 1}{(1+x)^2}$ , donc

$\int_1^X \frac{1}{x(1+x)^2} \,dx = \left[ \ln(x) - \ln(1+x) + \frac{1}{1+x} \right]_1^X = \left[ \ln(X) - \ln(1+X) + \frac{1}{1+X} \right] - \left[ -\ln 2 + \frac{1}{2} \right] = \ln $ \frac{X}{1+X} $ + \frac{1}{1+X} + \ln 2 - \frac{1}{2}$ .

Il te reste à recoller les morceaux, mais visiblement, tu ne trouvais pas le bon résultat.

Caco23 · 04/03/2008 - 11h36

Merci pour votre aide qui m'a permis de retrouver le résultat cherché...
En fait je m'étais trompé sur la seconde intégral...Je ne l'ai pas faite j'ai juste remplacé...Merci pour votre aide

Buraq · 04/03/2008 - 12h28

Bonjour,

Tu intègres par parties avec et , donc et , et tu obtiens :

Reste la dernière intégrale :

, donc

.

Il te reste à recoller les morceaux, mais visiblement, tu ne trouvais pas le bon résultat

Vite fait

God's Breath

Cordialement