[TS]Problème avec une inégalité de la moyenne

[invite047d9292]

Bonjour,
J'ai un exercice de mathématiques à faire et je suis un peu bloqué à une question, j'ai du mal à avancer (pour ceux qui auraient le livre Déclic Maths de TS, c'est l'exercice 81 page 200).
Voici l'exercice :

On a la fonction définie sur par et pour .

Voici les questions et mes réponses (je fais court ) :

1. • a) Montrer que est continue sur .
     Grâce à la définition de la continuité et de la dérivation j'ai pu montrer que donc est continue en , le reste c'est sans grande dificulté je pense.
     
   • b)Calculer pour tout non nul.
     J'ai
   • c)On note la fonction définie sur par : , étudier les variations de puis le signe de , en déduire pour tout non nul le signe de .
     J'ai donc donc après avoir étudié le signe de on a et une valeur interdite.
     
   • d)Donner les variations de .
     C'est rapide grâce à , est strictement décroissante.
2. • a)Justifier, pour tout réel , l'existence de : .
     est définie et continue sur elle a donc des primitives sur et existe.
     
   • b)Soit une primitive de sur , exprimer au moyen de , en déduire que est dérivable sur , montrer que, pour tout non nul, on a : .
     Je trouve et en dérivant correctement je retombe bien sur leur expression de .
     
   • c)Etudier les variations de .
     Je m'étend pas là-dessus, j'ai croissante sur et décroissante sur
3. • a)Montrer, en utilisant l'inégalité de la moyenne que, si est non nul, est compris entre et (distinguer les cas et .
     C'est là que ça se complique, je vois pas comment faire!
     En plus selon l'inégalité de la moyenne, le facteur est ici égal à sauf qu'on divise après par donc je vois pas pourquoi distinguer les deux cas...

Merci de m'aider!
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[Hamb]

Salut, pour utiliser l'inégalité de la moyenne, il faut vérifier que les bornes de ton intégrale sont dans le bon sens, or ici jsutement ce sens dépend du signe de x, et de plus, comme tu l'as dit toi même tu vas devoir diviser par x, et selon son signe le sens des inégalités pourrait changer !
D'ou la distinction de cas qu'on te demande de faire.

[invite047d9292]

ok merci de m'éclaircir la chose je comprend déjà mieux comment le sens des inégalités va changer, mais comment je borne ?
je peux pas prendre n'importe quoi aux vues du résultat que je dois trouver...

je peux encadrer de cette façon : mais ça me paraît très artificiel e tje suis pas ur que ça soit juste

[invite047d9292]

ça me donne quelque chose du genre :



Ensuite on a donc,
si alors
si alors

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

Attention, ce qu'il faut encadrer c'est la fonction t -> f(t) entre x et 2x, sachant comme je te l'ai dit que selon le signe de x, tu n'as pas forcément x < 2x. Fais bien attention au sens des bornes.

[invite047d9292]

ok donc j'étais un peu à côté de la plaque, le raisonnement ressemble plutôt à ça si j'ai bien compris :
on a ,
si alors et


si alors et



donc on a bien

[Hamb]

voila, maintenant c'est correct, sauf qu'a la fin tu as des moins qui sortent de nulle part, mais j'imagine que c'est une erreur d'inatention ^^

[invite047d9292]

non j'ai plus de moins j'ai fais le ménage! :P
merci pour ton aide!

[Hamb]

pas de problème, et quand tu rédiges évite les symboles d'équivalence à outrance, car là à priori tu n'as que des implications, utilises le donc.

[invite047d9292]

oui effectivement tu as raison, c'est une mauvaise habitude que j'ai prise il faut que je fasse gaffe à chaque fois!

[invite047d9292]

ce n'est plus un problème sur l'inégalité de la moyenne mais c'est le même exercice donc je ne multiplie pas les post.

je dois trouver la limite en (+ et -) de parfois ou .

dans tous les cas les limites sont identiques mais ai-je le droit d'utiliser à chaque fois le fait qu'à l'infini dans une forme indéterminée, la fonction exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance et donc utiliser les limites de ou ?

c'est notamment le qui m'embête, je peux le considérer comme et quand j'ai tout seul je peux le considérer comme ?

[invite047d9292]

quand j'ai des carrés j'ai pas de problèmes en par contre puisque pas de forme indéterminée

[Flyingsquirrel]

Salut

Tu peux te ramener aux croissances comparées que tu connais en écrivant . ( non nul vu qu'on travaille en l'infini)

[invite047d9292]

tu veux dire la définition de la dérivabilité?
comme ?
j'vois pas comment ça peut m'avancer?! parce que je connais pas ça pour les limites en ...

mais ma méthode ne fonctionne donc pas?

EDIT : c'est bon j'ai capté! je viens de faire un tour sur internet, j'ai pas vu "les théorèmes de croissances comparées" en détail je pense que le prof a du estimer qu'on pourrait déduire ça par nous même