démonstration dérivation

[invite084b3ab5]

Bonjour !

Je rencontre une petite difficultée lors d ema démonstration. En effet, il m'est demandé de démontrer que la dérivée de f(x) =x^n ets donnée apr f'(x) = nx^(n-1).
Cependant pour réaliser cela je suis obligée d'utiliser le prérequis qui est : la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.

Voici une partie de ma démonstration ...

Soient u et v 2 fonctions dérivables sur R, f '(uv) = f '(u)*f(v) + f(u)*f '(v)
f(x) = x^n peut s'écrire sous la forme d'un produit de fonctions dérivables.
f '(x^n) = f '(x*x*...*x) = [f '(x)*f(x)+f(x)*f '(x)]*[f '(x)*f(x)+f(x)*f '(x)]*...*[f '(x)*f(x)+f(x)*f '(x)]

Or comme f '(x) = 1, alors on obtient :
f ' (x^n) = f(x)*f(x)*...*f(x) = n*f(x) = nx^n

Les produits se répètent n fois.

Et voici mon problème ; je trouve nx^n pour résultat de la dérivée de f(x) = x^n, alors que le vrai résultat est f '(x^n) = nx^(n-1)

J'ai vraiment besoin de votre aide, parce que ça fait plus d'une heure que je cherche ma faute et je ne voie absolument pas !!
Merci d'avance !!
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[calculair]

Ta solution est astucieuse

Si tu derives F(x) = x x x x...x tu trouves

f'(x) = x' x x x x + x x' x x x + x x X' x x x + ..........+ x x x x x'

tu auras bien n x ^(n-1)

[invite35452583]

Soient u et v 2 fonctions dérivables sur R, f '(uv) = f '(u)*f(v) + f(u)*f '(v)

C'est nouveau comme écriture.
On a (uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). ou en plus court (uv)'=u'v+uv'.
Par ailleurs tu as plusieurs confusions entre somme et produit dont la pire est celle-ci :

f '(x^n) = f '(x*x*...*x) = [f '(x)*f(x)+f(x)*f '(x)]*[f '(x)*f(x)+f(x)*f '(x)]*...*[f '(x)*f(x)+f(x)*f '(x)]

Arrête d'écrire tes dérivées f'(fonction) et ça devrait déjà aller un peu mieux.

[invite084b3ab5]

Effectivement c'est une grosse étourderie de ma part d'avoir écrit mes dérivées de telle façon, merci pour ta correction
Je crois avoir compris ton raisonnement calculair, mais en écrivant x'xxx + xx'xx + ...+ xxxx' fait-on bien intervenir le prérequis ?
u'v + uv' serait donc ici tout simplement les x et x' ??

Sinon merci à vous 2 pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite084b3ab5]

J'aurais à nouveau besoin de votre aide pour la suite de mon exercice
Voici l'énoncé :
On désigne par g la fonction définie sur ]-1;1[ par g(0) = 0 et g'(x) = 1/(1-x²)^(1/2) où g' désigne la dérivée de la fonction g sur ]-1;1[ ; on ne cherchera pas à expliciter g(x).
(désolée je ne sais pas comment faire pour ajouter une racine carrée )
On considère alors la fonction composée h définie sur ]-pi;0[ par h(x) = g(cos x).

Démontrer que pour tout x de ]-pi;0[ on a h'(x) = 1, où h' désigne la dérivée de h.

Je ne sais pas trop comment m'y prendre... peut être faut-il chercher une primitive de g'(x) afin d'avoir g(x), ou alors on calcule l'expression de la dérivée de h(x) à laquelle j'ai trouvé : h'(x) = -(gcosxsinx)/(1-x²)^(1/2)

Mais en suivant la deuxième solution il nous faut quand même trouver g ...

Un peu d'aide de votre part serait la bien venue, afin que je trouve la réponse à cette question mercii beaucoup.