Calcul très compliqué (du moins pour moi)

[Myr]

Imaginons un tronc de pyramide irrégulier.

(Pour visualiser : La grande base est rectangulaire, la petite base est carrée, la face arrière est verticale. L'objet est symétrique)

On renverse l'objet.
Ô surprise ! il est creux.

Ses dimensions intérieures sont :
Hauteur h : 19 mm
Petite base (B1) : 64 mm²
Grande base (B2) : 396 mm²

Sur la face verticale, je cherche à y graver des graduations correspondant à :
1 ml
1.5 ml
etc
jusqu'à 4 ml.

... et j'y arrive pas du tout ...
(D'ailleurs pour 4 ml, cela risque d'être dur car la capacité est de 3,9215872 ml. Peut importe ça me permettra de savoir quelle hauteur devra faire l'objet pour qu'il ait une contenance de 4 ml ...)

Surtout ! Ne me dites pas de mettre les quantités de liquide et de faire des repères ! car en fait ... l'objet n'existe pas

Je souhaiterais que quelqu'un me résolve cette équation qui est trop complexe pour moi ops: !

[AurelAlex]

Salut,

Voila ma reponse :

Ca depend...

Si tu fixes simplement la surface de la partie superieure en lui imposant d'etre rectangulaire, tu as une multitude de configuration possible et donc de forme de pyramide possible et ma reponse est donc qu'il faut que tu imposes quelque chose de precis pour ta partie superieure (une largeur ou une longueur, au choix). Dans ce cas le resultat devient simple... Il suffit de calculer les equations des cotes puis d'integrer. Voili :

Soit l la largeur de la face superieure et L sa longueur. On appelle a la longueur des cotes du carre inferieur et h la hauteur de la pyramide.

On choisit de graduer la face arriere (celle qui est verticale), et on y repere le niveau de liquide par sa hauteur x.

Chaque section horizontale de la pyramide est un rectangle (on admet sans mal qu rectangle et carre c'est pareil au niveau de la surface...)

A la hauteur x, la largeur de la pyramide est a+(l-a)*x/h (trivial en appliquant deux Thales).
Sa profondeur a la meme hauteur x est a+(L-a)*x/h (idem mais avec un seul Thales cette fois ).
Donc l'air d'une section de pyramide a la hauteur x est :

[a+(l-a)*x/h]*[a+(L-a)*x/h]

Le volume contenu entre le bas de la pyramide est la hauteur y s'ecrit donc :

integrale([a+(l-a)*x/h]*[a+(L-a)*x/h]*dx, x variant de 0 a y)

ce qui donne :

V=(2*a^2+a*(l+L)+2*l*L)*y/6

soit y = 6*V/(2*a^2+a*(l+L)+2*l*L)

Donc si tu veux un volume V, il faut remplir ta pyramide jusqu'a la hauteur 6*V/(2*a^2+a*(l+L)+2*l*L).

Voili !
Bonne graduation de pyramide
@+
Aurelien

[Myr]

Merci Aurélien pour tout cette science qui me dépasse.
Le mieux est de prendre un exemple.
Il convient avant tout de bien visualiser l’objet et de le décrire par les mêmes termes et mêmes symboles :

Il s’agit d’un tronc de pyramide inversée. Il est creux. C’est un récipient.
(Toutes les dimensions données ici correspondent aux dimensions intérieures du récipient)

Hauteur verticale « h » : 19 mm

Petite base horizontale « b1 » (le dessous du récipient) : carré de 8 x 8 mm. 64 mm2.
Grande Base horizontale « B2 » (le dessus du récipient) : rectangle de 18x22 mm. 396 mm2.

La « face arrière » du récipient est verticale.

On va appeler le grand coté du rectangle (qui fait 22 mm) : la longueur « L »
C’est le coté arrière.
On va appeler les petits cotés du rectangle (qui font 18 mm) : la largeur « l »
Ce sont les cotés droit et gauche.

Le centre du coté arrière du carré se trouve à la verticale du centre du coté arrière « L » du rectangle.
Il y a donc une symétrie droite / gauche du récipient.
La face droite et la face gauche ont donc la même pente.
La face avant est plus pentue.

Voilà pour la description.


Il s’agit donc maintenant de graduer cette face arrière tous les 0,5 ml.
Evidemment les graduations « x1 », « x2 », « x3 », « x 4 » , jusqu’à « x8 » vont se rapprocher de plus en plus, puisque le récipient est « évasé ».

Pourrais tu, STP, me faire le calcul de la hauteur de « x5 » par exemple (2500 mm3) ?

C'est seulement après que je pourrai comprendre les variations de hauteur d'un même volume, dans un récipient qui n'est pas "prismique".


Laurent.

Salut,

Voila ma reponse :

Ca depend...

Si tu fixes simplement la surface de la partie superieure en lui imposant d'etre rectangulaire, tu as une multitude de configuration possible et donc de forme de pyramide possible et ma reponse est donc qu'il faut que tu imposes quelque chose de precis pour ta partie superieure (une largeur ou une longueur, au choix). Dans ce cas le resultat devient simple... Il suffit de calculer les equations des cotes puis d'integrer. Voili :

Soit l la largeur de la face superieure et L sa longueur. On appelle a la longueur des cotes du carre inferieur et h la hauteur de la pyramide.

On choisit de graduer la face arriere (celle qui est verticale), et on y repere le niveau de liquide par sa hauteur x.

Chaque section horizontale de la pyramide est un rectangle (on admet sans mal qu rectangle et carre c'est pareil au niveau de la surface...)

A la hauteur x, la largeur de la pyramide est a+(l-a)*x/h (trivial en appliquant deux Thales).
Sa profondeur a la meme hauteur x est a+(L-a)*x/h (idem mais avec un seul Thales cette fois ).
Donc l'air d'une section de pyramide a la hauteur x est :

[a+(l-a)*x/h]*[a+(L-a)*x/h]

Le volume contenu entre le bas de la pyramide est la hauteur y s'ecrit donc :

integrale([a+(l-a)*x/h]*[a+(L-a)*x/h]*dx, x variant de 0 a y)

ce qui donne :

V=(2*a^2+a*(l+L)+2*l*L)*y/6

soit y = 6*V/(2*a^2+a*(l+L)+2*l*L)

Donc si tu veux un volume V, il faut remplir ta pyramide jusqu'a la hauteur 6*V/(2*a^2+a*(l+L)+2*l*L).

Voili !
Bonne graduation de pyramide
@+
Aurelien

[AurelAlex]

Hello,

Hauteur verticale « h » : 19 mm
Petite base horizontale « b1 » : carré de 8 x 8 mm. 64 mm2.
Grande Base horizontale « B2 » : rectangle de 18x22 mm. 396 mm2.
22 mm : la longueur « L » : c’est le coté arrière.
18 mm : la largeur « l » : ce sont les cotés droit et gauche.

Il s’agit de graduer cette face arrière tous les 0,5 ml, de « x1 » a « x8 ».

Pourrais tu, STP, me faire le calcul de la hauteur de « x5 » par exemple (2500 mm3) ?

Ne serais-tu pas un peu faineant ar hasard ??

Bon, en fait, t'as bien fait de poser cette question qui m'a permis de trouver une erreur... J'avais integre le bon truc mais sans doute taper une betise sur ma machine ops:

Donc le resultat exact (verifier cette fois !) est une equation du 3eme degre :

y^2*(2*(a-l)*y-3*a*h)=6*h^2*v/(a*(a-L))

Bon ben y'a plus qu'a resoudre a la calculatrice et on trouve :

(Il suffit de remplacer, a par 8, l par 18, L par 22 et V par le volume voulu en mm^3, ce qui te donne directement ces resultats)

x1 = 4.23 mm
x2 = 5.81 mm
x3 = 6.98 mm
x4 = 7.93 mm
x5 = 8.75 mm
x6 = 9.48 mm
x7 = 10.14 mm
x8 = 10.74 mm

PS : la calculatrice bataille drolement pour faire le calcul !!

Sinon on est rassure parce que l'ecart diminue bien a chaque fois...

Voili !
@+
Aurelien

[Myr]

Aïe, il y a erreur :

avec les données suivantes :

Hauteur verticale « h » : 19 mm
Petite base horizontale « b1 » : carré de 8 x 8 mm. 64 mm2.
Grande Base horizontale « B2 » : rectangle de 18x22 mm. 396 mm2.

Le volume du récipient (qui fait 19 mm de haut) est de 3921,5872 mm3 ou 3,9 ml
Formule : V = (b1 x B2 + rac (b1 x B2)) x (h/3)

Tu trouves une hauteur beaucoup plus basse pour 4 ml (10,74 mm)
On devrait trouver plus haut que 19 mm.
Il y donc erreur quelque part.

Laurent

PS : je ne suis pas fainéant, je ne sais pas faire !

[Myr]

V = (b1 + B2 + rac (b1 x B2)) x (h/3)

[AurelAlex]

Aïe, il y a erreur :

Ah ca c'est bien possible
Mais je regarde pas aujourd'hui pour cause de WE a New-York...
Des que j'ai regarde je te tiens au courant !

PS : je ne suis pas fainéant, je ne sais pas faire !

Ah, le prend pas mal, il y avait un smiley a cote

@+
Aurelien from New York

[Myr]

Dommage qu'il n'y ait plus le Concorde pour New York. C'était bien plus rapide pour un WE.

[AurelAlex]

Dommage qu'il n'y ait plus le Concorde pour New York. C'était bien plus rapide pour un WE.

Non, j'habite a Washington quand je ne bosse pas, donc tout de suite c'est moins loin

@+
Aurelien

[AurelAlex]

Hello,

Desole pour ce temps de latence mais je t'avais completement oublie ops:

Effectivement, il y a une erreur, mais juste dans l'application numerique, tout le reste est bon (j'avais inverse deux valeurs en tapotant tout ca)

On trouve donc :

x1 = 5.30 mm
x2 = 8.56 mm
x3 = 11.06 mm
x4 = 13.11 mm
x5 = 14.89 mm
x6 = 16.46 mm
x7 = 17.88 mm
x8 = 19.18 mm

Voila, desole d'avoir tant tarde...
@+
Aurelien